Исследование функции на экстремум с помощью второй производной

Исследование функции на экстремум с помощью второй производной

Правило нахождения экстремумов функции у= ƒ(х) с помощью второй производной

I. Найти производную ƒ′(х).

II. Найти критические точки данной функции, в которых ƒ′(х)=0.

III. Найти вторую производную ƒ″(х).

IV. Исследовать знак второй производной в каждой из критических точек. Если при этом вторая производная окажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительной, то - минимум. Если же вторая производная равна нулю, то экстремум функции надо искать с помощью первой производной.

V. Вычислить значения функции в точках экстремума.

Пример 1. ƒ(х)=х²-2х-3

Находим производную: ƒ′(х)=2х-2. Решая уравнение ƒ′(х)=0, получим критическую точку х=1. Найдём теперь вторую производную: ƒ″(х)=2. Так как вторая производная в критической точке положительна, то при х=1 функция имеет минимум: ƒ_min = ƒ(1)=-4.

Пример 2. ƒ′(х)=х³-9х²+24х-12

Находим ƒ′(х)=3х²-18х+24;

3х²-18х+24=0

х²-6х+8=0 х₁=2, х₂=4

Найдём теперь ƒ″(х)=6х-18. Определим знак второй производной в критических точках. Так как ƒ″(2)=6·2-18<0, то при х=2 функция имеет максимум; так как ƒ″(4)=6·4-18>0, то при х=4 функция имеет минимум. Вычислим значения функции в точках экстремума:

ƒ_max= ƒ(2)=2³-9·2²+24·2-12=8, ƒ_min= ƒ(4)=4³-9·4²+24·4-12=4

Ответ: ƒ_max= ƒ(2)= =8,

ƒ_min= ƒ(4)= =4.

Наименьшее и наибольшее значения функции

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции, непрерывной в некотором промежутке, необходимо:

1) Найти производную функции;

2) приравнять производную к нулю и найти критические точки, принадлежащие заданному промежутку, вычислить значения функции в этих точках;

3) найти значения функции на концах промежутка;

4) сравнить полученные значения, тогда наименьшее и наибольшее из них являются соответственно наименьшим и наибольшим значениями функции в рассматриваемом промежутке.

Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции

ƒ(х)=х²-4х+3 в промежутке 0 ≤ х ≤3.

Решение:

1) Найдём производную функции ƒ′(х)=2х-4.

2) Приравняем производную к нулю и найдём критические точки:

2х-4=0

х=2 – критическая точка.

Найдём значения функции в критической точке: ƒ(2) = -1.

3) Вычисляем значения функции на концах промежутка:

ƒ(0)=3, ƒ(3)=0.

4) Сравним полученные значения: наименьшее значение функции равно –1 и достигается ею во внутренней точке промежутка, а наибольшее значение равно 3 и достигается на левом конце промежутка.

Ответ: у_наиб.= ƒ(0)=3; у_наим= ƒ(2)= -1.

12 Следующая ⇒