![]()
|
|||||||
Искомая вероятность р = 1— q = 1—0,2 = 0,8. ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3 #79 Даны три попарно независимых события A, B, C, которые, однако, все три вместе произойти не могут. Предполагая, что все они имеют одну и ту же вероятность p, найти наибольшее возможное значение p. Решение. Так как события попарно независимы и Обозначим
Решив это уравнение относительно В таком случае Если Итак, наибольшее возможное значение #80 Вероятность отказа первого элемента равна 0,1,второго - 0,15,третьего – 0,2 То есть Тока в цепи не будет, если откажет хотя бы один элемент То есть нужно использовать формулу появления хотя бы одного события (P(A)=1- Значит, искомая вероятность равна 0,388 (P(A)=1- Ответ:0,388
#81 Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент. Решение: Вероятность того, что откажет 1й элемент, 2й элемент или оба, обратна вероятности того, что ни один не откажет, т.е.: Ответ: 0,126.
#82 Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,3; 0,4; 0,6; 0,7. Решение: При последовательном сбрасывании четырех бомб мост будет разрушен (событие А), если в него попадет хотя бы одна бомба. Следовательно, искомая вероятность равна: Ответ: 0,9496. #83 Три исследователя, независимо один от другого, производят измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что первый исследователь допустит ошибку при считывании показаний прибора, равна 0,1. Для второго и третьего исследователей эта вероятность соответственно равна 0,15 и 0,2. Найти вероятность того, что при однократном измерении хотя бы один из исследователей допустит ошибку. Решение. Вероятность того, что при однократном измерении хотя бы один из исследователей допустит ошибку равна: Р(А) = 1 - q1q2q3 = 1 –(1 – 0,1)*(1 – 0,15)*(1 – 0,2) = 0,388.
#84 Вероятность успешного выполнения упражнения для каждого из двух спортсменов равна 0,5. Спортсмены выполняют упражнение по очереди, причем каждый делает по две попытки. Выполнивший упражнение первым полу- получает приз. Найти вероятность получения приза спорт- спортсменами.
Решение. Для вручения приза достаточно, чтобы хотя бы одна из четырех попыток была успешной. Вероятность успешной попытки р = 0,5, а неуспешной q=1 - 0,5 = 0,5. Искомая вероятность Р = 1 - q^4 = 1 —0,5^4 =0,9375.
#85 Вероятность попадания в мишень каждым из двух стрелков равна 0,3. Стрелки стреляют по очереди, причем каждый должен сделать по два выстрела. Попавший в мишень первым получает приз. Найти вероятность того, что стрелки получат приз. Решение. Для получения приза достаточно, чтобы хотя бы одна из четырех попыток была успешна. Вероятность успешной попытки p=0,3 , неуспешной q=1-p=0,7. Тогда искомая вероятность будет равна P=1-q*q*q*q=1-
#86 Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при трех выстрелах равна 0,875. Найти вероятность попадания при одном выстреле. Решение: Вероятность попадания в мишень хотя бы при одном из трех выстрелов (событие А) равна Р(А)=1-q3, где q — вероятность промаха. По условию, P (A) = 0,875. Следовательно, 0,875=1—q3, или q3 = 1—0,875 = 0,125. Отсюда q= Искомая вероятность р = 1— q = 1—0,5 = 0,5. #87 Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле. Решение: Вероятность попадания в мишень хотя бы при одном из трех выстрелов (событие А) равна Р(А)=1-q4, где q — вероятность промаха. По условию, P (A) = 0,9984. Следовательно, 0,9984=1—q4, или q4 = 1—0,9984= 0,0016. Отсюда q= Искомая вероятность р = 1— q = 1—0,2 = 0,8.
#88 Условие: Многократно измеряют некоторую физическую величину. Вероятность того, что при считывании показаний прибора допущена ошибка, равна
Решение: Вероятность хотя бы одной ошибки из
Следовательно, искомое число измерений равно
#89 В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).
Решение: Обозначим через А событие - извлечен белый шар. Возможны следующие предположения о первоначальном составе шаров: В1 - белых шаров нет, В2 - один белый шар, В3 - два белых шара. Поскольку всего имеется три гипотезы, причем по условию они равновероятны, и сумма вероятностей гипотез равна единице (так как они образуют полную группу событий), то вероятность каждой из гипотез равна 1/3, т. е. P(B1) = P(B2) = P(B3) = Вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне не было белых шаров, Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности: Ответ: P(A)= #90 В урну, содержащую n шаров, опущен белый шар, после наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров по цвету. Решение: Обозначим через А событие - извлечен белый шар. Возможны следующие предположения о первоначальном составе шаров: В1- 1 белый шар, В2- 2 белых шара... Вn-n белых шаров. Поскольку всего имеется n гипотез, причем по условию они равновозможны и сумма вероятностей равна единице, то вероятность каждой гипотезы равна Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности:
#91
Условие задачи: В вычислительной лаборатории имеется шесть клавишных автоматов и четыре полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна
Решение задачи: Обозначим через Так как имеется 6 клавишных автоматов и 4 полуавтомата, то вероятность того, что произойдет гипотеза Условная вероятность того, что клавишный автомат не выйдет из строя, равна Искомая вероятность того, что до окончания эксперимента машина не выйдет из строя, находим по формуле полной вероятности:
Ответ: P(A)=0,89
#92 В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.
Решение Рассмотрим события: A – стрелок поразит мишень В1 – взятая наудачу винтовка снабжена оптическим прицелом В2 – взятая наудачу винтовка без оптического прицела Следовательно, по условию, вероятность события А при условии события В1: В свою очередь вероятность события В1: Пользуясь формулой полной вероятности Ответ: 0,85 #93 Задание: В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе № 1, 20 деталей —на заводе № 2 и 18 деталей— на заводе № 3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе № 1, отличного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на заводах N° 2 и № 3, эти вероятности соответственно равны 0.6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества. Решение: Обозначим через A событие – извлечена деталь отличного качества. Возможно три варианта гипотезы: где Искомая вероятность вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества находится по формуле полной вероятности:
#94 В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар. Решение: Обозначим через
Поскольку всего имеется две гипотезы, причём по условию они равновероятны, и сумма вероятностей гипотез равна единице(т.к. они образуют полную группу событий), то вероятность каждой из гипотез равна Условная вероятность того, что белый шар будет извлечён из первой урны равна: Условная вероятность того, что белый шар будет извлечён из второй урны равна: По формуле полной вероятности находим:
#95 В каждой из трех урн содержится 6 черных 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым. Решение. A1 – вероятность того, что из первой урны извлечен белый шар. A2 – вероятность того, что из первой урны извлечен черный шар. P(A1)=4/10 P(A2)=6/10 B1 – вероятность того, что из второй урны извлечен белый шар, после того как из первой урны переложили во вторую урну белый шар. B2 – вероятность того, что из второй урны извлечен белый шар, после того как из первой урны переложили во вторую урну черный шар. P(B1)=5/11 P(B2)=4/11 C1 – вероятность того, что из второй корзины будет извлечен белый шар. C2 – вероятность того, что из второй корзины будет извлечен черный шар. P(C1)=P(A1)*P(B1)+P(A2)*P(B2) P(C1)=4/10*5/11+6/10*4/11=2/5 P(C2)=1-P(C1) P(C2)=1-2/5=3/5 D1 – вероятность того, что из третьей урны извлечен белый шар, после того как из второй урны переложили в втретью урну белый шар. D2 – вероятность того, что из третьей урны извлечен белый шар, после того как из второй урны переложили в втретью урну черный шар. P(D1)=5/11 P(D2)=4/11 E – вероятность того, что из третьей урны будет извлечен белый шар. P(E)= P(D1)*P(C1)+P(D2)*P(C2) P(E)=5/11*2/5+4/11*3/5=2/5 Ответ: 2/5.
#96 Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.
Решение: Пусть А – событие того, что сбой будет обнаружен, тогда из формулы полной вероятности следует, что: PA= PB1PB1A+PB2PB2A+PB3PB3A= 0,3*0,8+0,2*0,9+0,5*0,9=0,87.
#97 Обозначим через А событие – деталь отличного качества Можно сделать два предположения
Условная вероятность, что она будет отличного качества, если она произведена первым автоматом Условная вероятность, что она будет отличного качества, если она произведена первым автоматом Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности равна P(A)=Р( Вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Бейеса равна
Ответ:
#98 В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него? Решение: Обозначим событие А – стрелок поразил мишень и гипотезы: B1 – стрелок выбрал винтовку с оптическим прицелом, B2 – без оптического прицела. Тогда Теперь, воспользовавшись формулой Бейеса, получим ответ: Ответ: Стрелок вероятнее всего стрелял из винтовки без оптического прицела.
#99 Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина. Решение: Обозначим через А событие—подъезд автомобиля к заправке. Можно сделать два предположения: Условная вероятность, что проезжающий грузовой автомобиль подъедет на заправку: Вероятность того, что проезжающий автомобиль подъедет на заправку, по формуле полной вероятности равна Р(А) = Искомая вероятность того, что подъехавший к заправке автомобиль будет грузовым, по формуле Бейеса равна Ответ: 3/7. #100 Две перфораторщицы набили на разных перфораторах по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку, равна 0,05; для второй перфораторщицы эта вероятность равна 0,1. При сверке перфокарт была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась первая перфораторщица. (Предполагается, что оба перфоратора были исправны.) Решение. Обозначим через событие А – ошибку перфораторщицы. Тогда, Условная вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку, равна Условная вероятность того, что вторая перфораторщица допустит ошибку, равна Вероятность того, что наудачу взятая перфокарта, окажется с ошибкой равна, по формуле полной вероятности равна: P(A)= P( Искомая вероятность того, что взятая перфокарта произведена первой перфораторщицей, по формуле Бейеса равна:
#101 В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием К, 30%—с за- заболеванием L, 20%—с заболеванием М- Вероятность полного излечения болезни К равна 0,7; для болезней L и М эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоро- здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К.
Решение Больные поступают в больницу в разном процентном соотношении. Р(k)= 0.7, P(L)=0.3,P(M)= 0.2, где K,L,M – заболевания, а Р(Х)- вероятность поступления с данным заболеванием.Тогда Pk(A)=0.7, Pl(A)=0.8 ,Pm(A)=0.9 это вероятность полного излечения от данного заболевания. Чтобы найти вероятность что Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым надо найти : P(A)= Pk(a)*P(k) + Pl(a)*P(l) + Pm(a)*P(m) = 0.7*0.5 + 0.8*0.3 + 0.9*0.2 = 0.77
А вероятность что больной страдал именно заболеванием К равно: Pa(K) = (Pk(a)*P(k))/P(A)= (0.5*0.7)/0.77 = 5/11
#102 Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов . Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу , равна 0,55, а ко второму – 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом , равно 0,9, а вторым – 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того , что это изделие проверил второй товаровед.
Решение: Обозначим через А – изделие признана стандартной. Условная вероятность того что изделие будет признано стандартным первым товароведом равна Вероятность того, что изделие будет признано стандартным по формуле полной вероятности равна P(A)= P( Искомая вероятность того, что изделие проверил второй товаровед, по формуле Бейеса равна
#103 Событие А может появится при условии появления одного из несовместимых событий В1, В2,…, Вn, образующих полную группу событий. После появления события А были переоценены вероятности гипотез, то есть были найдены условные вероятности РА(Вi) (i=1,2,…,n). Доказать, что сумма РА(Вi) (i=1,2,…,n) равна 1. Решение: По формуле Бейеса: i=1n∑РА(Вi)= i=1n∑Р(Вi)* РВi(А)/Р(А)=Р(А)/Р(А)=1 Что и требовалось доказать.
#104 Условие: Событие
Решение: Так как события
#105 Имеются три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 20, 15, 10. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.
Решение: Обозначим через А событие – в каждом из двух испытаний была извлечена стандартная деталь. Можно предположить, что B1 – детали извлекались из первой партии; B2 – детали извлекались из второй партии; В3 – детали извлекались из третей партии. Детали извлекались на удачу, поэтому вероятности предположений одинаковы: P(B1) = P(B2) = P(B3) = Вероятность того, что из первой партии будут последовательно извлечены две стандартные детали; поэтому Условная вероятность Найдем условную вероятность Искомая вероятность того, что обе извлеченные детали стандартные взяты из третей партии, по формуле Бейеса равна
Ответ:
#106 Условие: Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания в цель первым, вторым и третьим орудиями соответственно равны
Решение: Обозначим через A событие- два орудия попали в цель. Сделаем два предположения: По условию Найдем условную вероятность
Найдем условную вероятность
Искомая вероятность того, что первое орудие дало попадание, по формуле Бейеса равна:
Ответ:
#107 Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками соответственно равны 0,6, 0,5 и 0,4.
Решение. Обозначим через А событие – две пули поразили мишень. Сделаем два предположения (гипотезы): В1 – третий стрелок поразил мишень; В2 – третий стрелок не попал в мишень.
По условию, Р(В1) = 0,4; следовательно (событие В2 противоположно событию В1),
Р(В2) = 1 – 0,4 = 0,6.
Найдем условную вероятность РВ1(А), т.е. вероятность того, что мишень поразили две пули, причем одна из них принадлежит третьему стрелку и, следовательно, вторая – либо первому стрелку (при этом второй не попал), либо второму стрелку (при этом первый не попал). Эти два события несовместны, поэтому применима теорема сложения:
РВ1(А) = p1∙q2 + p2∙q1 = 0,6∙0,5 + 0,5∙0,4 = 0,5.
Найдем условную вероятность РВ2(А), т.е. вероятность того, что мишень поразили две пули, причем третий стрелок промахнулся. Другими словами, найдем вероятность того, что первый и второй стрелки поразили мишень. Эти два события независимы, поэтому применима теорема умножения:
РВ2(А) = p1∙p2 = 0,6∙0,5 = 0,3.
Искомая вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, по формуле Бейеса равна
РА(В1) = Р(В1)∙РВ1(А)/[ Р(В1)∙РВ1(А) + Р(В2)∙РВ2(А)] = 0,4∙0,5/( 0,4∙0,5 + 0,6∙0,3 ) = 10/19.
Ответ: 10/19.
#108 Два из трех независимо работающих элементов вычислительного устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первый и второй элементы, если вероятности отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,2; 0,4 и 0,3.
Решение. Обозначим через А событие – отказали два элемента. Можно сделать следующие предположения (гипотезы): В1 - отказали первый и второй элементы, а третий элемент исправен, причем (поскольку элементы работают независимо, применима теорема умножения)
Р(В1) = p1∙p2∙q3 = 0,2∙0,4∙0,7 = 0,056;
В2 - отказали первый и третий элементы, а второй элемент исправен, причем
Р(В2) = p1∙p3∙q2 = 0,2∙0,3∙0,6 = 0,036;
В3 - отказали второй и третий элементы, а первый - исправен, причем
Р(В3) = p2∙p3∙q1 = 0,4∙0,3∙0,8 = 0,096;
В4 - отказал только один элемент; В5 - отказали все три элемента; В6 - ни один из элементов не отказал. Вероятности последних трех гипотез не вычислены, так как при этих гипотезах событие А (отказали два элемента) невозможно и значит условные вероятности РВ4(А), РВ5(А) и РВ6(А) равны нулю, следовательно, равны нулю и произведения Р(В4)∙РВ4(А), Р(В5)∙РВ5(А) и Р(В6)∙РВ6(А) при любых значениях вероятностей гипотез В4, В5 и В6. Поскольку при гипотезах В1, В2 и В3 событие А достоверно, то соответствующие условные вероятности равны единице:
РВ1(А) = РВ2(А) = РВ3(А) = 1.
По формуле полной вероятности, вероятность того, что отказали два элемента, равна
Р(А) = Р(В1)∙РВ1(А) + Р(В2)∙РВ2(А) + Р(В3)∙РВ3(А) + Р(В4)∙РВ4(А) + Р(В5)∙РВ5(А) + Р(В6)∙РВ6(А) = 0,056 + 0,036 + 0,096 = 0,188.
По формуле Бейеса, искомая вероятность того, что отказали первый и второй элементы,
РА(В1) = Р(В1)∙РВ1(А)/ Р(А) = 0,056/0,188 = 0,3.
Ответ: 0,3.
#109 Две из четырех независимо работающих ламп прибора отказали. Найти вероятность того, что отказали первая и вторая лампы, если вероятности отказа первой, второй, третьей и четвертой ламп соответственно равны 0,1, 0,2, 0,3 и 0,4.
Решение. Обозначим через А событие – отказали две лампы. Можно сделать следующие предположения (гипотезы): В1 - отказали первая и вторая лампы, а третья и четвертая лампы исправны, причем (поскольку лампы работают независимо, применима теорема умножения)
Р(В1) = p1∙p2∙q3∙q4 = 0,1∙0,2∙0,7∙0,6 = 0,0084;
В2 - отказали первая и третья лампы, а вторая и четвертая исправны, причем
Р(В2) = p1∙q2∙p3 ∙q4 = 0,1∙0,8∙0,3∙0,6 = 0,0144;
В3 - отказали первая и четвертая лампы, а вторая и третья - исправны, причем
Р(В3) = p1∙q2∙q3∙p4 = 0,1∙0,8∙0,7∙0,4 = 0,0224;
В4 - отказали вторая и третья лампы, а первая и четвертая - исправны, причем
Р(В4) = q1∙p2∙p3∙q4 = 0,9∙0,2∙0,3∙0,6 = 0,0324;
В5 - отказали вторая и четвертая лампы, а первая и третья - исправны, причем
Р(В5) = q1∙p2∙q3∙p4 = 0,9∙0,2∙0,7∙0,4 = 0,0504;
В6 - отказали третья и четвертая лампы, а первая и вторая - исправны, причем
Р(В6) = q1∙q2∙p3∙p4 = 0,9∙0,8∙0,3∙0,4 = 0,0864;
В7 – отказала только одна лампа; В8 - отказали три лампы; В9 - отказали все четыре лампы и В10 – все лампы остались исправны. Вероятности последних четырех гипотез не вычислены, так как при этих гипотезах событие А (отказали две лампы) невозможно и значит условные вероятности РВ7(А), РВ8(А), РВ9(А) и РВ10(А) равны нулю, следовательно, равны нулю и произведения Р(В7)∙РВ7(А), Р(В8)∙РВ8(А), Р(В9)∙РВ9(А) и Р(В10)∙РВ10(А) при любых значениях вероятностей гипотез В7, В8, В9 и В10. Поскольку при гипотезах В1 – В6 событие А достоверно, то соответствующие условные вероятности равны единице:
РВ1(А) = РВ2(А) = РВ3(А) = РВ4(А) = <
|
|||||||
|