Хелпикс

Главная

Контакты

Случайная статья



Пример 2. Пример 4. Пример 5. II способ.

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2


Пример 2

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Решение: Сначала выполним чертеж:

Фигура, площадь которой нам нужно найти, заштрихована синим цветом (внимательно смотрите на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована зеленым цветом!

Этот пример еще полезен и тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов. Действительно:

1) На отрезке над осью расположен график прямой ;

2) На отрезке над осью расположен график гиперболы .

Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому:

Ответ:

Пример 3

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у = 4х – х2, у = 5, х = 3.   Решение:   х0 = 2, у0 = 4 Sф = SОАВД – SОСД Sпрям. = SОСД = F(3) – F(0), где F(x) первообразная для функции f(х) = 4х – х2 F(х)= ; SОСД= Sф = 15 – 9 = 6. Ответ: 6.

 

Пример 4

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,

Решение:
Представим уравнения в «школьном» виде , и выполним поточечный чертеж:

Из чертежа видно, что верхний предел у нас «хороший»: .
Но чему равен нижний предел?! Понятно, что это не целое число, но какое? Может быть ? Но где гарантия, что чертеж выполнен с идеальной точностью, вполне может оказаться что . Или корень. А если мы вообще неправильно построили график?

В таких случаях приходиться тратить дополнительное время и уточнять пределы интегрирования аналитически.

Найдем точки пересечения прямой и параболы .
Для этого решаем уравнение:


,

Действительно, .

Дальнейшее решение тривиально, главное, не запутаться в подстановках и знаках, вычисления здесь не самые простые.

На отрезке , по соответствующей формуле:

Ответ:

 

Пример 5

Вычислить S фигуры, ограниченной линиями у = (х + 2)2, х = 0, у = 0.

Решение:

АОВ – криволинейный треугольник или криволинейная трапеция. (рис 10.)

S = F(0) – F(-2) = F(x) = x2 +4x+4; F(x) = S =

Ответ:

Пример 6

Найти S фигуры, ограниченной параболой у = х2 + 1 и прямой у = х + 3.

Решение:

Построим в одной системе координат графики данных функций.

1) у = х2 + 1, х0 = 0, у0 = 0.

х -3 -2 -1
у

2) у = х + 3

3) х2 + 1 = х + 3

х1 = 1, х2 =2. Sф = S1АВСД – S2АВmСД Sтр.АВСД = SАВmСД = F(2) – F(-1), F(x) = , S = 6 Sф = S1 – S2 = 4,5.

II способ.

SАВСД = F(2) – F(-1), F(x) = .

Ответ: Sф = 4,5.

 

Пример 7:

Найдите 3 четверти площади фигуры, ограниченной параболой, заданной уравнением у = – х2+4х-3 и осью абсцисс. Решение: 1) хВ=2, уВ=1 2) – х2+4х-3=0 х1=3, х2=1 Функция неотрицательна на [1;3] F(x) = Sф = F(3) – F(1) = 3) Умножим Sф на . Sиск.=   Ответ: 1

 


⇐ Предыдущая12
  

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.