Теорема об изменении кинетического момента механической системы

Теорема об изменении кинетического момента механической системы

Полная производная от вектора кинетического момента системы относительно некоторого неподвижного центра O равна главному моменту всех внешних сил, приложенных к точкам и телам системы, относительно выбранного центра

При решении задач обычно рассматривается кинетический момент относительно оси вращения одного из тел, тогда: полная производная от кинетического момента системы относительно некоторой неподвижной оси Oz равна главному моменту всех внешних сил, приложенных к точкам и телам системы, относительно этой оси

Из последней формулы следует дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела. В таком случае

Тогда

Примеры решения задач

Решение

Воспользуемся дифференциальным уравнением вращательного движения твердого тела. Момент инерции шарика относительно оси вращения

Главный момент внешних сил относительно оси вращения равен моменту относительно этой оси силы сопротивления, так как моменты силы тяжести и реакций в опорах равны нулю

Подставляя найденные значения в дифференциальное уравнение вращательного движения, получим

или

Начальные условия: при

Метод интегрирования полученного дифференциального уравнения зависит не только от его вида, но и от условия задачи. Для ответа на первый вопрос – определение времени, когда угловая скорость примет заданное значение, его можно рассматривать как дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. После разделения переменных и интегриррования получим

Для определения постоянной интерирования воспользуемся начальными условиями

С учетом начальных условий

Если .

Если правая часть дифференциального уравнения не зависит явно от времени, то для нахождения зависимости скорости от координаты удобнее воспользоваться заменой независимой переменной

Тогда после разделения переменных получим

Из начальных условий

Если , то

Решение

Воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента механической системы. Относительно оси вращения барабана

Кинетический момент механической системы складывается из кинетических моментов всех точек и тел, входящих в нее. В нашем случае – из кинетического момента вращающегося барабана и кинетического момента груза, совершающего поступательное движение

Момент инерции барабана . Скорость движения груза , плечо этого вектора относительно оси равен r. Тогда

Главный момент внешних сил равен сумме вращающего момента и момента силы тяжести груза (моменты остальных внешних сил: реакций в опорах и силы тяжести барабана, равны нулю)

Подставляя найденные величины уравнение теоремы об изменении кинетического момента получим

После интегрирования с учетом начальных условий получим

Решение

Воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента механической системы. Относительно оси AB

Главный момент всех внешних сил относительно оси равен нулю, т.к. реакции в опорах пересекают эту ось, а силы тяжести параллельны ей. Поэтому

Кинетический момент механической системы складывается из кинетических моментов всех точек и тел, входящих в нее. В нашем случае – из кинетического момента вращающейся трубки и кинетического момента шарика, который можно считать материальной точкой

Шарик совершает сложное движение: перемещается по трубке и вращается вместе с ней, поэтому его кинетический момент следует рассматривать как сумму двух составляющих – от переносного и относительного движений. В тот момент времени, когда шарик находится на расстоянии x от оси вращения, а угловая скорость вращения трубки равна w

Кинетический момент в относительном движении равен нулю, т.к. вектор относительной скорости лежит в одной плоскости с осью вращения.

Для всей механической системы

Чтобы определить угловую скорость трубки при заданном положении шарика, воспользуемся постоянством кинетического момента

Тогда

Решение

Воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента механической системы. Относительно неподвижной оси Oz

Т.к. в начальный момент времени человек и платформа имели скорость равную нулю, то кинетический момент был равен нулю, следовательно, он и останется равным нулю.

Кинетический момент механической системы складывается из кинетических моментов всех точек и тел, входящих в нее. В нашем случае – из кинетического момента вращающейся платформы и кинетического момента человека, которого можно считать материальной точкой

Момент инерции платформы

Движение человека по платформе является сложным, поэтому его кинетический момент будет складываться из двух составляющих

Тогда

Задачи для самостоятельного решения:

37.5, 37.6, 37.51

Дополнительные источники:

1. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике – любое издание после 1981 года

2. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики – любое издание после 1979 года

3. Лекции на сайте кафедры теоретической механики Самарского университета - http://tm.ssau.ru/ru/сотрудники/авраменко/дисциплины/теоретическая механика/

⇐ Предыдущая 12