ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ

Рациональные и иррациональные числа, взятые в совокупности, называются действительными или вещественными.

Множество R всех действительных чисел состоит из множества всевозможных десятичных дробей (конечных, бесконечных периодических и бесконечных непериодических).

Итак, под числовой системой будем понимать то или иное множество чисел, рассмотренное вместе с операциями, которые над ними выполняются.

Каждая числовая система предназначена для решения определенного типа задач.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Решение многих задач сводится к решению алгебраических уравнений.

Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел. Однако, действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое алгебраическое уравнение. Например, уравнение

х² + 1 = 0

не имеет действительных корней. Поэтому приходится расширять множество действительных чисел до нового множества, такого, чтобы в этом множестве уравнения вида х² + а² = 0 имели решения.

Корень уравнения х² + 1 = 0 или х² = -1 называется мнимой единицейи обозначается буквой i. Таким образом, символ i удовлетворяет условию

i² = -1

Комплексным числом называется выражение вида a + bi , где a и b- действительные числа, i -мнимая единица. Число a называетсядействительной частью комплексного числа, а число bi - мнимой частью. Комплексное число обозначается буквой z. Запись комплексного числа в виде

z = a + bi

называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Комплексное число z = 0+bi называется чисто мнимым, z = 0+bi = bi. При решении задач учитывать z = a+0i = a. Комплексное число z = 0+0i называется нулем. Комплексные числа a+bi и a-bi называются сопряженными.

ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ

Суммой двух комплексных чисел z₁ = a₁ + b₁i и z₂ = a₂ + b₂i

называется комплексное число

z₁+ z₂ = (a₁+ a₂) + (b₁ + b₂) i

Произведением двух комплексных чисел z₁ = a₁ + b₁i и z₂ = a₂ + b₂i называется комплексное число

z₁z₂ = ( a₁a₂-b₁b₂) + ( a₁b₂+a₂b₁ ) i

Вычитаниекомплексных чисел вводится как операция, обратнаясложению.

Деление -как операция, обратная умножению .

Формулы не нуждаются в запоминании. Формулы суммы, разности, произведения комплексных чисел получаются автоматически, если выполнять соответствующие действия и заменить i² = -1 .

При делении на комплексное число достаточно умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю.

12 Следующая ⇒