Действительные числа

Действительные числа

Действительные числа в математике представляются конечными или бесконечными дробями, т.е. точность представления чисел не ограничена.

Однако в компьютерах числа хранятся в регистрах и ячейках памяти, которые представляют собой последовательность байтов с ограниченным количеством разрядов. Следовательно, бесконечные или очень длинные числа усекаются до некоторой длины и в компьютерном представлении выступают как приближенные. В большинстве систем программирования в написании действительных чисел целая и дробная части разделяются не запятой, а точкой.

Для представления действительных чисел, как очень маленьких, так и очень больших, удобно использовать форму записи чисел в виде произведения X = m • qp, где m – мантисса числа; q – основание системы счисления; р – целое число, называемое порядком.

Такой способ записи чисел называется представлением числа с плавающей точкой.

То есть число 4235,25 может быть записано в одном из видов: 4235,25 = 423,525∙101 = 42,3525∙102 = 4,23525∙103 = 0,423525∙104.

Очевидно, такое представление не однозначно. Если мантисса 1/q ≤ |m| <q (0,1 ≤ |m| <1 для десятичной системы счисления), то представление числа становится однозначным, а такая форма называется нормализованной. Если «плавающая» точка расположена в мантиссе перед первой значащей цифрой, то при фиксированном количестве разрядов, отведенных под мантиссу, обеспечивается запись максимального количества значащих цифр числа, т.е. максимальная точность.

Действительные числа в компьютерах различных типов записываются по- разному, тем не менее существует несколько международных стандартных форматов, различающихся по точности, но имеющих одинаковую структуру.

Рассмотрим на примере числа, занимающего 4 байта.

Первый бит двоичного представления используется для кодирования знака мантиссы. Следующая группа бит кодирует порядок числа, а оставшиеся биты кодируют абсолютную величину мантиссы. Длины порядка и мантиссы фиксируются.

Порядок числа может быть как положительным, так и отрицательным.

Чтобы отразить это в двоичной форме, величина порядка представляется в виде суммы истинного порядка и константы, равной абсолютной величине максимального по модулю отрицательного порядка, называемой смещением.

Например, если порядок может принимать значения от –128 до 127 (8 бит), тогда, выбрав в качестве смещения 128, можно представить диапазон значений порядка от 0 (-128+128, порядок + смещение) до 255 (127+128).

Так как мантисса нормализованного числа всегда начинается с нуля, некоторые схемы представления его лишь подразумевают, используя лишний разряд для повышения точности представления мантиссы.

Чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа. Чем больше разрядов занимает порядок, тем шире диапазон от наименьшего отличного от нуля числа до наибольшего числа, представимого в компьютере при заданном формате.

Использование смещенной формы позволяет производить операции над порядками как над беззнаковыми числами, что упрощает операции сравнения, сложения и вычитания порядков, а также упрощает операцию сравнения самих нормализованных чисел.

Отчет по выполнению лабораторной работы

Рисунок 3. Пункт 6

Рисунок 4. Пункт 7

⇐ Предыдущая 12