Задания Д9 C2 № 527634. Задания Д9 C2 № 528342

Задания Д9 C2 № 527634

Плоскость α перпендикулярна основанию правильной треугольной пирамиды SABC и делит стороны AB и BC основания пополам.

а) Докажите, что плоскость α делит боковое ребро в отношении 1 : 3, считая от вершины S.

б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость α разбивает пирамиду.

Решение.а) Пусть M и N середины AB и BC, соответственно, L — точка пересечения средней линии MN с высотой BH основания, точка O — центр основания. Так как плоскость α перпендикулярна основанию, она параллельна SO — высоте пирамиды. Значит, плоскость α будет пересекаться с плоскостью BSH по прямой KL параллельной SO, где K — точка пересечения плоскости α с ребром SB. Тогда по теореме Фалеса получаем:

б) Заметим, что плоскость α отсекает от пирамиды SABC пирамиду KBMN с основанием BMN и вершиной K. Вычислим, какую часть составляет V_KBMN от V_SABC. Из пункта а) следует, что KL — высота KBMN и Кроме того, как площадь треугольника, отсекаемого средней линией MN. Значит,

Таким образом, отношение объёмов многогранников, на которые плоскость α разбивает пирамиду SABC, составляет 3 : 13.

Ответ: б) 3 : 13.

Задания Д9 C2 № 528342

Дана треугольная пирамида ABCD объемом 40. Через вершину A и середину M ребра BC проведена плоскость, пересекающая ребро BD в точке N. Расстояние от вершины B до этой плоскости равно 4, а площадь треугольника AMN равна 5.

а) Докажите, что точка N делит ребро BD в отношении 1 : 2, считая от точки B.

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC пирамиды, если дополнительно известно, что ребро BD перпендикулярно плоскости ABC и равно 15.

Решение. а) Вычислим объём пирамиды ABMN двумя способами:

Заметим теперь, что так как высоты этих пирамид, опущенные из вершины A, совпадают. Таким образом, При этом, по теореме об отношении площадей треугольников с равным углом,

Следовательно, то есть

б) Так как из п. а) находим, что Вычислим объём ABMN третьим способом:

отсюда Пусть угол между плоскостями ABC и AMN равен α. Заметим, что треугольник AMB есть проекция треугольника AMN на плоскость ABC. Тогда откуда

Ответ: б)

⇐ Предыдущая 12