Задание 13 № 517439. Задание 13 № 517446. Задание 13 № 517453. Задания Д9 C2 № 507666

Задание 13 № 517439

На ребрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём Точки P и Q — середины сторон DA и DC соответственно.

а) Доказать, что P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б) Найти отношение объемов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.

Решение.а) Треугольник ABC подобен треугольнику MBN по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Тогда углы BAC и BMN равны, и AC параллельно MN. Далее, PQ параллельно AC поскольку является средней линией треугольника ADC. Значит, MN параллельно PQ и поэтому P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б) Пусть объём ABCD равен V. Пятигранник APMCQN состоит из четырёхугольной пирамиды PACNM с основанием ACNM и треугольной пирамиды PQCN с основанием QCN. Выразим их объемы через V.

Расстояние от P до плоскости BCD вдвое меньше расстояния от A до той же плоскости, при этом Значит,

Площадь треугольника MBN составляет площади ABC. Значит, Расстояние от точки P до плоскости ABC вдвое меньше расстояния от D до ABC, поэтому

Таким образом, то есть Ответ: 21 : 11.

Задание 13 № 517446

На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM : BM = CN : NB = 1 : 2. Точки P и Q — середины ребер DA и DC соответственно.

а) Докажите, что P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б) Найти отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.

Решение.а) Треугольник ABC подобен треугольнику MBN по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Тогда углы BAC и BMN равны, и AC || MN. PQ || AC поскольку является средней линией треугольника ADC. Значит, MN || PQ и поэтому P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б) Пусть объём ABCD равен V. Пятигранник APMNCQ состоит из четырёхугольной пирамиды PACNM с основанием ACNM и треугольной пирамиды PQCN с основанием QCN. Выразим их объемы через V.

Расстояние от P до BCD вдвое меньше расстояния от A до BCD, а площади треугольников QCN и BCD, по теореме об отношении площадей треугольников с равным углом, относятся как 1 : 6. Значит,

Площадь треугольника MBN составляет площади ABC. Значит, Расстояние от точки P до ABC вдвое меньше расстояния от D до ABC, поэтому

Таким образом, то есть

Ответ: 13 : 23.

Задание 13 № 517453

а) Доказать, что P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б) Найти отношение объемов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.

Решение.а) Треугольник ABC подобен треугольнику MBN по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Тогда углы BAC и BMN равны, и AC || MN. Далее, PQ || AC поскольку является средней линией треугольника ADC. Значит, MN || PQ и поэтому P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

Расстояние от P до (BCD) вдвое меньше расстояния от A до (BCD), а площади треугольников QCN и BCD относятся как 1 : 8. Значит,

Площадь треугольника MBN составляет площади ABC. Значит, Расстояние от точки P до (ABC) вдвое меньше расстояния от D до (ABC), поэтому

Таким образом, то есть

Ответ: 9 : 23.

Задания Д9 C2 № 507666

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 1, T — середина ребра AD.

а) Докажите, что объем пирамиды в 12 раз меньше объема куба.

б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости A₁BT, где T — середина ребра AD.

Решение.а) Объем куба равен 1. Найдём объём пирамиды Он равен

б)Пусть h — искомое расстояние. Найдём теперь объём пирамиды другим способом. Он равен Треугольник  — равнобедренный, его основание равно а боковые стороны равны Если H — середина основания то поэтому Следовательно, объём пирамиды равен Приравняем выражения для объёма: откуда Ответ:

12 Следующая ⇒