ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 3 страница
Найдём закон распределения.
Дифференцируем по времени формулу Эйлера:
 ,
Так как  , то
 =>
двойное векторное произведение 
 - формула Ривальса для распределения
ускорений точек абсолютно твёрдого тела (рис. 40).
1)  - ускорение начала подвижной системы.
Так как 
2)  - вращательное ускорение.
3)  - осестремительное ускорение.
Рис.40.
Контрольные вопросы:
1. Какая формула является исходной при расчёте распределения ускорений точек твёрдого тела?
2. Как перейти от двойного векторного произведения к скалярным произведениям?
3. Напишите формулу Ривалью.
| | Лекция 12.Поступательное и вращательное движения.
|
Частными видами движения абсолютно твёрдого тела являются поступательное, вращательное и плоскопараллельное.
Поступательным движением абсолютно твёрдого тела будем называть такое движение, при котором отрезок прямой, соединяющей две любые точки тела, остаётся параллельным неподвижной прямой.
Рис.41.
В поступательном движении все точки тела в каждый момент времени имеет одну и ту же скорость и одно и то же ускорение.
Пусть:
Тогда:
Положим:
 .
Так как  перемещается параллельно первоначальному направлению, то:
Тогда:
(Аналогично из формулы Эйлера при  )
Очевидно и наоборот, если скорости всех точек равны между собой в каждый момент времени, то тело движется поступательно.
Пусть:
 ,где  - вектор постоянной длины и неизвестного направления относительно неподвижной системы.
К тому же тело движется поступательно.
Рассмотрим вращение тела вокруг неподвижной оси.
Пусть две точки А1 и А2 неподвижны. Очевидно, что все точки прямой А1А2 неподвижны. Введём неподвижную систему Х1, Х2, Х3: Х3 по А1А2. Положение тела определяется точками А1, А2, Р, а из трех координат точки Р только одна независимая, так как имеются два уравнения связи. Можно взять угол  (рис.42).
Рис.42.
Поясним: введём подвижную систему  по 
Тогда таблица косинусов:
Распределение скоростей:
Распределение ускорений:
Контрольные вопросы:
1. Какое движение твёрдого тела называется поступательным?
2. Сколькими параметрами определяется положение тела при вращении вокруг неподвижной оси?
3. Напишите формулы компонент ускорения во вращательном движении тела.
| | Лекция 13.Плоскопараллельное движение.
|
Плоскопараллельным называется такое движение абсолютно твёрдого тела, при котором скорости всех его точек параллельны некоторой неподвижной плоскости  .
- плоскость (х1,х2)||( y1,y2).
По формуле Эйлера:
Так как  , то
(круговая перестановка -  )
или  .
Т. е. скалярное произведение векторов  :
 .
В силу произвольности координат y1, y2 точки Р =>
 .
Итак: вектор мгновенной угловой скорости расположен на оси  .
Обычно рассматривают плоское сечение тела ||  - фигуру S.
Рис.43.
Положение S определяется тремя параметрами:
1) 2 – е координаты точки О’,
2)  - угол поворота жёстко связанных осей (рис. 43).
Для точки Р в плоскости (  ):
 , где  .
Или (совместив  с О):
Так как  точка в каждый момент времени, в которой скорость в этот момент равна нулю.
Пусть это О*(х1*, х2*).
То есть если  , то  единственная точка, скорость которой равна нулю. Вычитая (В) из (А) получим:
Если поместить начало координат в точку О*, то в этот момент времени распределение скоростей точек будет таким же, как во вращательном движении вокруг неподвижной оси. Точка О* называется центром мгновенного вращения, или мгновенным центром скоростей.
Пример: нахождение центра мгновенного вращения, если известно направление скоростей двух точек тела (рис. 44).
Рис.44.
Обратное рассуждение:
Если центр найден, то все скорости направлены  радиусу - вектору. Поэтому (обратно) для нахождения центра надо проводить к скоростям до пересечения.
Пример: палочка АВ = l скользит по прямым Ох и Oy.
По формуле Ривальса можно найти распределение ускорений, мгновенный центр ускорений, а так же вычислить ускорение центра мгновенного вращения (и скорость мгновенного центра ускорений).
Контрольные вопросы:
1. Какое движение твёрдого тела называется плоскопараллельным?
2. Что такое мгновенный центр скоростей?
3. Как найти мгновенный центр скоростей, если известны скорости двух точек твёрдого тела?
| | Лекция 14.Сложное движение точки.
|
Для описания движения введём неподвижную и подвижную системы координат.
Рассмотрим движение точки М в подвижной системе отсчета  ,  ,  (рис. 45). Для этого задают:
1)  , где  - орты подвижной системы.
2) Движение системы  относительно неподвижных осей.
Пусть 
Найдем скорость точки М в неподвижной системе (дифференцированием):
Очевидно:
 - искомая скорость;
 - скорость начала подвижной системы.
Найдём  с учётом  ,  
1) 
 , где  - мгновенная угловая скорость вращения подвижной системы отсчета по формуле Эйлера
2)  - назовем относительной производной
Итак:
Если  (т. е. нет относительного движения):
Поэтому:
 - относительная скорость.
Переносная скорость (навязывается движением системы):
Это скорость того места, где в данный момент времени находится точка М.
Окончательно :
Найдем ускорение точки относительно неподвижной системы отсчета, если заданы относительные координаты  и движение подвижной системы.
Дифференцируем:
:
где  - ускорение точки О’
здесь  - вектор от точки М к мгновенной оси под прямым углом (см. формулу Ривальса)
 - относительное ускорение (равно 0, если точка М движется в подвижной системе отсчета прямолинейно и равномерно).
Переносное ускорение – определяется как ускорение того места в подвижной системе отсчета, в которой точка М находится в рассматриваемый момент времени; вычисляется по формуле Ривальса:
Ускорение Кориолиса: 
Половина ускорения Кориолиса получена при дифференцировании по времени переносной скорости, а вторая половина – при дифференцировании относительной скорости.
 - формула Кориолиса.
где  ;
 ;
Формула Кориолиса позволяет вычислить абсолютное ускорение точки, если ее положение определяется координатами относительно подвижной системы отсчета.
Контрольные вопросы:
1. Что называется переносным и относительным движениями?
2. Напишите формулу скорости в сложном движении точки.
3. Из каких частей складывается ускорение Кориолиса?
| | Лекция 15.Основы динамики точки.
|
Динамикой называется та часть, в которой рассматриваются влияние сил на состояние движения материальных объектов.
В этом разделе в качестве моделей реальных тел принимается материальная точка
Законы Ньютона. Правило сложения сил.
Рассмотрим движение материальной точки (рис. 46) в инерциальной системе отсчёта под действием сил, обусловленных взаимодействием точек с другими точками и телами (т. е. возникающих в результате взаимодействия материальных объектов).
Рис.46.
Заметим, что при движении в неинерциальной системе отсчёта относительные движения частично определяются движением самой системы отсчёта.
Уравнения движения составляются на основе законов Ньютона.
Трактат «Математические начала натуральной философии»:
1687 г. – год возникновения теоретической механики.
Законы Ньютона – идеализированные законы природы, но для практики это допустимо в очень широких пределах.
Введём меры движения.
Количество движения – равно произведению массы m на вектор скорости точки:
 ,
где m = const > 0 – мера инертности материи.
Момент количества движения, относительно начала координат (рис. 47):
 .
Рис.47.
Кинетическая энергия материальной точки:
 (скаляр)
В дальнейшем покажем, что в ряде случаев движение точки наглядней описывается через  или Т.
При формулировании законов Ньютона обозначаем:
 - сила взаимодействия между точками  и  ;
 - суммарная сила, приложенная к точке М , взаимодействующей со многими точками.
Первый закон Ньютона: материальная точка пребывает в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения относительно инерциальной системы отсчёта до тех пор, пока действующие на неё силы не изменят это состояние.
То есть изолированная точка либо покоится, либо движется прямолинейно и равномерно. Причина изменения движения – вне самой точки.
Второй закон Ньютона: производная по времени от количества движения материальной точки геометрически равна силе, приложенной к точке. Или, при постоянной массе, произведение массы точки на её абсолютное ускорение геометрически равно приложенной к материальной точке силе, т. е.
 или  , если m = const.
Связь кинематической величины – ускорения с динамической величиной – силой через коэффициент пропорциональности – массу.
Третий закон Ньютона: две любые материальные точки взаимодействуют друг с другом с силами, направленными по прямой, соединяющей эти точки, равными по величине и противоположно направленными (рис. 48).
Рис.48.
Рассмотрим воздействие точки M1 c остальными точками (рис. 49).
Для  имеем ускорение:
Принцип независимости действия сил:ускорение  , вызываемое силой  , определяется только этой силой и не зависит от других сил.
Следствие:
 ; обозначая 
Геометрическая сумма ускорений  , вызываемых силами взаимодействия точки М1 с остальными точками, пропорциональна геометрической сумме сил взаимодействия – правило параллелограмма для сложения сил.
От чего зависит сила  ?
1) от координат точки в данный момент времени;
2) от предистории движения (старение);
3) от окружающей среды (температура);
4) сопротивление воздуха.
и т. д.
Рис.50.
Идеализация: силы зависят только от координат точки, от первых производных и явно от времени: 
На практике – допустимо.
Развитие физики привело к изменению некоторых устаревших представлений и к выяснению границ области, в пределах которой справедлива механика Ньютона: его понятие об абсолютном пространстве заменено теперь понятием инерциальной системы отсчёта; установлено, что механика Ньютона – классическая механика – неприменима, если относительные скорости точек сравнимы со скоростью света [это область релятивистской или эйнштейновской механики]; неприменима механика классическая и к изучению явлений микромира [это область квантовой механики]. Но они основаны на классической механики. В остальных областях => классическая механика даёт достаточно точные результаты.
Контрольные вопросы:
1. Что называют динамикой?
2. Перечислите меры движения материальной точки
3. Сформулируйте законы Ньютона.
4. Каковы границы области применения классической механики Ньютона?
| | Лекция 16.Дифференциальные уравнения движения точки.
|
Рассмотрим движение свободной материальной точки в инерциальной системе отсчёта в декартовых координатах. Из 2-го закона Ньютона:
 ,  , 
причём, Fx, Fy, Fz – могут зависеть от координат, первых производных, времени:  .
Если известен закон движения (например из кинематики):
 ,  ,  ,
то => Fx(t), Fy(t), Fz(t). Это первая (прямая) задача динамики точки.
Если известна сила, то для исследования движения необходимо интегрировать дифференциальные уравнения – это вторая (обратная) задача динамики точки.
Формы дифференциальных уравнений движения
1) 2-ой закон Ньютона – для количества движения.
2) Умножим на  (векторно):
или  - уравнение момента количества движения.
[Почему? – самостоятельно. Учесть  ].
Производная по времени от момента количества движения геометрически равна моменту силы.
Подробная запись (координатная):
3) Умножим скалярно на элементарные перемещения  :
 .
 - уравнение кинетической энергии.
Дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе суммы сил, приложенных к точке, на действительном перемещении.
О первых интегралах (законы сохранения).
Из дифференциальных уравнений: функция координат, их производных по времени, являющаяся постоянной в силу уравнений (то есть её производная по времени равна нулю) => называется первым интегралом.
Получим такие условия.
Если  - первый интеграл, то  и 
1) Если Fx = 0, то  ,  - интеграл количества движения (закон сохранения количества движения).
2) Если  (то есть проекция момента силы на ось z),
то из
 ,
 - интеграл момента количества движения (закон сохранения момента количества движения).
3) Получим интеграл энергии.
 .
Пусть правая часть есть полный дифференциал некоторой скалярной функции – потенциала силового поля  .
Тогда:
 ,  ,  .
Работа:
 .
Чтобы  было полным дифференциалом:
1)  - то есть поле стационарно (не зависит от t).
2)  ,  с условиями из высшей математики:
 ;  ; 
или
 ;  ; 
или
Иначе: если  и  , то  и уравнение кинетической энергии будет в полных дифференциалах:
 .
Интегрируя:
 .
Введём потенциальную энергию:
 .
Тогда:  - интеграл энергии (закон сохранения механической энергии).
Если силовое поле потенциально и стационарно, то сумма кинетической и потенциальной энергий свободной материальной точки равна постоянной.
Е0 – механическая энергия; находится из начальных условий.
Энергия сохраняется, то есть консервируется => поле называется консервативным.
Покажем, что работа сил консервативного поля не зависит от вида траектории, а равна разности значений функции П в конце и начале перемещения (рис.51).
Рис.51.
Работа:
 ,
что и требовалось доказать.
 .
Работа сил консервативного поля на замкнутом перемещении равна нулю (рис.52).
Рис.52.
Контрольные вопросы:
1. Сформулируйте прямую и обратную задачи динамики.
2. Напишите уравнение момента количества движения точки.
3. Что называется перовым интегралом дифференциального уравнения?
4. Какое силовое поле называется консервативным?
| | Лекция 17.Частные виды силовых полей.
|
1) Сила зависит только от времени – поле однородно, но не стационарно.
 .
Тогда:
 ;
 .
Аналогично, для y и z.
2) Проекции силы зависят только от соответствующих координат.
 .
Умножая на dx и интегрируя:
 .
Дифференцируем снова для проверки:
 ;  .
Положим:
 .
Тогда:
(знак берётся из начальных условий).
Разделяя переменные:
 .
3) Проекция силы зависит лишь от проекции скорости на эту же ось.
 .
Обозначая:
 .
Разделяя переменные:
   .
Таким образом, в каждом из трёх частных случаев силовых полей по заданным силе, массе и начальным условиям определены выражения для скорости и ускорения точки.
Контрольные вопросы:
1. В чём суть метода разделения переменных при решении дифференциальных уравнений?
2. В чём особенность интегрирования уравнения движения точки, если сила зависит только от координаты?
3. В каких реальных задачах сила зависит от скорости движения точки?
| | Лекция 18.Основы динамики системы точек.
|
|
