ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 2 страница

Частный случай общей поставки задачи. Пусть все действующие силы лежат в одной плоскости – например, листа. Выберем за центр приведения точку О – в этой же плоскости. Получим результирующую силу

и результирующую пару

в этой же плоскости, то есть

(рис.19)

Замечание. Систему можно привести к одной результирующей силе. Условия равновесия:

или скалярные:

Очень часто встречаются в приложениях, например, в сопротивлении материалов. Пример.

С трением шара о доску и о плоскость. Условие равновесия:

= ? Задача о равновесии несвободного твёрдого тела. Несвободным называется такое твёрдое тело, перемещение которого стеснено связями. Например, другими телами, шарнирными закреплениями. При определении условий равновесия: несвободное тело можно рассматривать как свободное, заменяя связи неизвестными силами реакции. Пример.

Контрольные вопросы: 1. Что называется плоской системой сил? 2. Напишите условия равновесия плоской системы сил. 3. Какое твёрдое тело называется несвободным?

Лекция 5.Частные случаи равновесия твёрдого тела.

Теорема. Три силы уравновешивают твёрдое тело только в том случае, когда все они лежат в одной плоскости.

Доказательство.

Выберем за точку приведения точку на линии действия третьей силы. Тогда (рис.22)

Рис.22.

То есть плоскости S1 и S2 совпадают, причём для любой точки на оси силы , ч.т.д. (Проще: в плоскости только там же для уравновешивания).

Условия равновесия твёрдого тела с одной неподвижной точкой.

Центр приведения – закреплённая точка (рис.23):

Рис.23.

Моменты (условия равновесия):

Для определения реакций => результирующая:

; ; .

Условия равновесия твёрдого тела, способного вращаться вокруг неподвижной оси.

Рис.24.

Закреплены две точки О и О1. Центр приведения: точка О (рис.24).

; Rx, Ry, Rz в точке О; R`x, R`y, R`z в точке О1; ОО1 = h.

Уравнения равновесия:

Положение тела в пространстве определяется одним параметром, например, углом поворота , который определяется из последнего уравнения: . Остальные 5-ть уравнений => нахождение 6-ти проекций реакций связи => задача статически неопределимая. Требуются дополнительные условия деформирования (в сопротивлении материалов).

Условия равновесия твёрдого тела, способного перемещаться параллельно неподвижной плоскости (рис.25).

Рис.25.

Уравнения равновесия:

где , , – проекции активных сил, приложенных в точках ( , , ).

Два первых и последнее уравнения – необходимые условия равновесия. Три остальных => реакции, то есть только для закрепления в трёх точках. Иначе => статически неопределимая задача.

Случай опоры на три точки.

Для определения реакций имеем:

где ,

Решение имеется только при условии:

то есть три точки опоры не лежат на одной прямой. Иначе, статическая неопределимость.

Пример.

Рис.26.

Если дано, что опора упругая => .

Тогда для реакции:

(удобно взять начало координат в одной из опор).

Контрольные вопросы:

1. В каком случае три силы уравновешивают твёрдое тело?

2. Как выглядят условия равновесия тела с одной неподвижной точкой?

3. Напишите уравнения равновесия тела, способного вращаться вокруг неподвижной оси.

Лекция 6.Задача о равновесии бруса.

Виды опор:

Рис.27.

Уравнения равновесия:

Виды нагрузок:

Рис.28.

Найти: R_A, R_B.

А = 0 R_B

В = 0 R_А

Проверка:

Контрольные вопросы:

1. Назовите виды опор в ???????? схемах.

2. Чем отличаются шарнирно подвижная и шарнирно неподвижная опоры?

3. Какие уравнения являются наиболее удобными для нахождения реакций в брусе

Лекция 7.Определение внутренних усилий в стержневых конструкциях.

Внутренние усилия определяются методом сечений (РОЗУ), состоящим из четырёх этапов: Р – рассекаем, то есть проводим сечение в том месте, где определяются внутренние усилия; О – отбрасываем одну из частей и рассматриваем оставшуюся часть; З – заменяем действие отброшенной части на рассматриваемую внутренними усилиями, которые приводим к центру тяжести сечения. Проецируя приведённые усилия на оси, получаем следующие неизвестные: N – продольная сила; Qy, Qz – поперечные силы; Мкр – крутящий момент; My, Mz – изгибающие моменты. Эти усилия направляются в соответствии с правилами статики для выбранной системы координат:

1.) левая рассматриваемая часть

2.) правая рассматриваемая часть

Рис.29.

У – уравновешиваем, то есть составляем шесть уравнений равновесия, из которых и определяются внутренние усилия.

Затем строятся графики внутренних усилий вдоль оси бруса, которые называются эпюрами внутренних усилий.

Частные случаи.

1) Изгиб ( Qz, My ).

2) Изгиб ( Qz, My ).

3)Растяжение, сжатие ( N ).

4) Кручение ( Мкр ).

Рис.30.

Контрольные вопросы:

1. Из каких этапов состоит метод сечений?

2. Что называется эпюрой внутреннего усилия?

3. Перечислите основные частные случаи нагружения бруса.

Лекция 8.Основы кинематики точки.

Кинематикой называется та часть механики, в которой изучаются зависимости между величинами, характеризующими состояние систем, но не рассматриваются причины вызывающие изменение состояние движения. Кинематика точки. Декартовы координаты. С неподвижной системой отсчёта связываем декартовую ортогональную систему координат (правую, рис. 31).

Рис.31. Точка

, где

– параметрические уравнения траектории. где

- единичные векторы (орты),

- непрерывны и 2 раза дифференцируемы; 2-е производные – непрерывны. Непрерывная последовательность точек среды (пространства), занимаемая точкой M, называется траекторией точки М. Исключая время: или: Введём понятия скорости и ускорения: Рис.32. т. М t т. М’ t + t ( t - конечное). Радиусы – векторы: t t + t + = За время t (рис. 32): (Направление по секущей MM’). Скорость точки в момент времени t получается при t 0, то есть (Направление по касательной и траектории точки) Очевидно: Проекции : . Модуль (длина): Скорость точки М в момент времени t равна производной по времени от радиуса – вектора точки и направлена по касательной к траектории. Аналогично найдём ускорение (рис. 33). Рис.33. Совмещая начало векторов (t) и (t + t) в точке М => за t. Среднее ускорение: (направление в сторону вогнутости траектории) Ускорение точки в момент времени t получается при t 0, то есть Очевидно: Ускорение точки в некоторый момент времени равно производной по времени от вектора скорости, или второй производной по времени от радиуса – вектора точки в этот момент времени. В некоторых задачах – используется производная более высоких порядков, но здесь они пока не нужны. В механике применяются не только декартовы координаты – часто применяют обобщённые (криволинейные) координаты. Они бывают удобней, позволяют определить конфигурацию рассматриваемой системы. Часто их называют позиционными. Криволинейными они называются потому, что линии вдоль которых меняется только одна координата, обычно бывают кривыми. Рассмотрим частный случай криволинейных координат – полярные координаты точки на плоскости: применим далее к задаче движение точек в центральном силовом поле (рис. 34). Рис.34. (x, y) – декартовы координаты. (r, ) – полярные координаты. Угол => от Ох против часовой стрелки – положительное направление Формулы преобразования: x = r cos , y = r sin , где r 0; 0 < 2 (можно рассматривать и ). Если r = const – концентрические окружности с центром в точке О. Если = const – прямолинейные лучи из точки О. Введём два орта: Найдём производные по углу (рис. 35): Рис.35. (так как r = 1) при , т. е. . Далее: при , т. е. . При каждом дифференцировании по φ т. е. происходит поворот на угол . Выведем формулы проекции скорости и ускорения точки М на направления касательных к координатным линиям в полярных координатах. Так как , то Но: Очевидно: Для ускорения: . Но: . Очевидно: Контрольные вопросы: 1. Что изучает кинематика? 2. Дайте определение скорости точки. 3. Напишите формулы проекций ускорения на оси полярной системы координат.

Лекция 9.Естественные координаты.

Рассмотрим систему координатных осей, определяемую траекторией точки (рис.36).

Рис.36.

. Единичный вектор касательной к траектории (S – длина дуги М₀М):

, где

. Дифференцируя

по S:

, где

- единичный вектор главной нормали;

и направлен в сторону вогнутости;

кривизна. (k = 0 - прямая);

- радиус кривизны. Единичный вектор бинормали

образуют правую тройку ортогональных единичных векторов. Они определяют направление естественных (натуральных) осей в том месте траектории, где находится движущаяся точка.

соприкасающаяся

Очевидно, проекция на ось

(может иметь разные знаки – зависит от направления S). Для ускорения:

; Но:

; Очевидно, проекции ускорения на естественные оси: на касательную:

; на главную нормаль:

на бинормаль: 0 Таким образом, ускорение лежит в соприкасающейся плоскости (рис. 37).

Рис.37. Задача.

Контрольные вопросы: 1. Какие основные отличия естественной системы координат от декартовой? 2. Назовите проекции скорости точки в естественных координатах. 3. Какова последовательность определения радиуса кривизны траектории точки?

Лекция 10.Формула Эйлера.

Найдём число координат, определяющих положение абсолютно твёрдого тела. Определить положение тела => определить координаты

точки относительно некоторой системы отсчёта в

момент времени.

Рис.38. Пусть Х₁, Х₂ , Х₃ – неподвижные оси (рис. 38); орты:

[декартова система].

- оси, жёстко связанные с телом; орты:

- [декартова система]. Так как координаты точек относительно собственных осей

не зависят от времени, то задача сводится к определению положения координатных осей, жёстко связанных с телом (подвижных), относительно неподвижных осей Х₁, Х₂ , Х₃. Составим таблицу косинусов углов между осями Х и

- скалярное произведение.

Так как системы координат ортогональны, то скалярное произведение:

, где

Итак:

Число таких соотношений = 6 (Из 9 – ти в силу симметрии по jи k).

Имеем 6 соотношений для 9 косинусов => 3 косинуса

, не расположенные в одном столбце, или в одной строке, могут быть приняты за независимые, а остальные можем определить из составленных 6 – ти соотношений. Кроме того => три координаты определяют положение точки О’ – начало системы

,. Но 9 координат и 3 соотношение длин:

Это условия постоянства расстояний между точками в абсолютно твёрдом теле. Выведем формулу Эйлера для распределения скоростей точек абсолютно твёрдого тела (рис. 39).

, 1)

, - скорость точки О^’, - скорость точки Q во вращательном движении тела (так как длина постоянна). Так как координаты точки Qпостоянны, то

Тогда: 2)

, где . Скорость точки Q: . 3) Выразим и производные через направляющие косинусы :

. Тогда: (в неподвижной системе). 4) Проекция на ось (k= 1,2,3):

. Скорости точек во вращательном движении – линейные функции координат точек. 5) Получим более простую и наглядную форму закона распределения скоростей, используя свойства функции .

, Дифференцируем по t:

. По свойству производной от произведения: при j= k =>

, при j≠ k=>

. Свойства: а) симметрия по kи j; б) при j= k=>равенство «0»; в) размерность t^-1 , т. е. угловая скорость (угол в радианах), так как - скорость. г) различных только три =>

Покажем, что

Действительно: - по аналогии. Итак: или: 7) , где - единичные вектора, жёстко связанные с телом. Положим - вектор, где

8) Тогда:

-Описывает распределение скоростей.

Назовём вектором мгновенной угловой скорости, а прямая на которой он располагается, в рассматриваемый момент времени, проходящую через точку О^’ – осью мгновенного вращения, или мгновенной осью.

Таким образом, закон распределения скоростей точек абсолютно твёрдого тела в любом движении:

Это формула Эйлера в векторной записи.

Контрольные вопросы:

1. Сколько координат определяют положение твёрдого тела в пространстве?

2. Что называется вектором мгновенной угловой скорости?

3. Напишите формулу Эйлера.

Лекция 11.Распределение ускорений точек твёрдого тела.

⇐ Предыдущая 123 4 5 Следующая ⇒