|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Прямолинейная регрессия ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2 Прямолинейная регрессия Это наиболее простой вид регрессии, поэтому неудивительно, что если есть возможность каким-либо способом свести криволинейную регрессию к прямолинейной, то такая возможность используется. Наиболее часто при этом применяется изменение масштаба для одной или обеих переменных, например, путем замены величин на их логарифмы, квадраты, квадратные корни и пр. Подобрав способ преобразования, следует убедиться, что регрессионный анализ может быть применен к полученным преобразованным данным. Для отыскания двух параметров и в уравнении регрессии вида: нужно иметь систему из двух уравнений. При использовании метода наименьших квадратов коэффициенты и находятся путем решения системы следующих уравнений: где п – число пар сопряженных точек. Из этой системы следует, что:
.
Для нашего примера в итоге получаем (размерность х - %, а у - кал/г грунта):
,
.
Пользуясь уравнением регрессии можно установить, чему, в среднем, равно значение зависимой переменной при заданном значении независимой переменной. Если коэффициенты в уравнении являются оценками, как это обычно и бывает, то результат вычислений будет оценкой условного среднего. Так, при х = 5,0 получим кал/г.
Всякое уравнение регрессии имеет границы применимости: § Только для данного объекта; § Только в заданном интервале изменения аргумента. Коэффициент характеризует прирост функционального признака при изменении признака, считаемого аргументом, на единицу и, таким образом, является размерной величиной. Ее размерность представляет собой отношение размерности функционального признака к размерности признака, взятого как аргумент. В нашем примере: . Если регрессионный анализ проводится на корреляционной модели, то в качестве аргумента может быть выбран как признак х, так и признак у. Этим случаям соответствуют два разных уравнения регрессии: – для y по x – для x по y где y/x характеризует изменение у по х, а x/y – х по у. Нахождение параметров аx/y и вy/x осуществляется с помощью уже приведенных выражений, в которых индексы х заменены на у. Для нашего примера: При корреляционных связях абсолютная величина любого коэффициента регрессии всегда меньше обратной величины другого: в силу чего эти коэффициенты и именуются коэффициентами регрессии (от латинского regressio - движение назад), и различия эти тем значительнее, чем сильнее изучаемая связь отличается от прямолинейной функциональной зависимости.
Графически: т.е. чем меньше связь между изучаемыми признаками, тем больше различие между направлениями линий регрессии. В случае полного отсутствия связи (признаки варьируют независимо) теоретические линии регрессии оказываются взаимно перпендикулярными, идущими параллельно осям координат (поскольку bx/y = by/x = 0). Соответствующая этой зависимости теоретическая линия регрессии х/у) не совпадает с линией регрессии у/х, и в этом проявляется специфика корреляционной связи. Чем меньше степень линейной связи, тем больше угол между линиями регрессии. При r = 0 линии регрессии х/у и у/х оказываются взаимно перпендикулярными и идущими параллельно осям координат. При строго функциональной связи (|r| = 1) линии регрессии сливаются в одну.
Если известно значение коэффициента корреляции rxy, то значение коэффициента регрессии можно вычислить по формулам:
где и - средние квадратичные отклонения для Х и У. Параметр в уравнении регрессии в этом случае будет определяться согласно выражениям: где и – средние арифметические для признаков Х и У. Коэффициент корреляции и оба коэффициента регрессии всегда имеют один знак. Кроме того, полезно заметить, что коэффициент корреляции: есть среднее геометрическое из коэффициентов регрессии.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|