Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью

ПЗ. Признаки и свойства параллельных и перпендикулярных плоскостей. Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости, расстояние между плоскостями, между скрещивающимися прямыми, между произвольными фигурами в пространстве.

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

А)Пример 1. Два отрезка длин а и b упираются концами в две параллельные плоскости. Проекция первого отрезка (длины а) на плоскость равна с. Найдите проекцию второго отрезка, если а = 17 , b = 10, с = 15 см.

Дано:α || β, а = 17 , b = 10, с = 15 см. Найти:х

Решение:

а² – с² = b² – х², х² = b² – а² + с², х² = 10² – 17²+ 15² =

= 100 – 289 + 225 = …, х = … см.
Ответ: х = 6 см.

Пример 2.

Две параллельные плоскости расстояние между

которыми 2 дм, пересечены прямой, составляющей с каждой из

плоскости угол в 30⁰. Найти длину отрезка этой прямой, заключенной

между плоскостями.

Дано: α || β, АВ∩α = А, АВ∩β = В, _Ð АВС = 30°, АС = 2 дм.

Найти:АВ

Решение:Δ АСВ – прямоугольный, _Ð АВС = 30°, АС = 2 дм.

АВ = 2 АС = 2 2 = … дм.
Ответ: АB = 4 дм.

Пример 3. Расстояние между параллельными плоскостями равно 8 см. Отрезок прямой длина которого 17 см расположен между ними так, что его конец принадлежит плоскости. Найти проекцию этого отрезка на другую плоскость.

Дано: α || β, АВ∩α = А, АВ∩β = В, АВ = 17 см, АС = 8 см.

Найти:ВС

Решение:Δ АСВ – прямоугольный, ВС² = АВ² – АС² = 17² – 8² = 289 – 64 = …, ВС = … см.

Ответ: BС = 15 см.

Пример 4. На параллельных плоскостях α и β, выбрано по паре точек А₁,А₂ и В₁,В₂ соответственно так, что прямые А₁В₁ и А₂В₂ пересекаются в точке S Вычислите SА₁ и SВ₂, если А₁В₁= 6см; SА₂= 2,5см; SВ₂: SА₂= 3 : 1 . S

Дано: α || β, А₁ А₂∩В₁ В₂ = S, А_1,А₂ α, В₁ ,В₂ β,

А₁В₁= 6см; SА₂= 2,5см; SВ₂: SА₂= 3 : 1

Найти:SА₁, SВ₂

Решение:Δ SА₁ А₂ ~ Δ SВ₁В₂ , (α || β), SВ₂: SА₂= 3 : 1, SА₂= 2,5см,

SВ₂ = 3 2,5 = … см. SВ₁: SА₁= 3 : 1, А₁В₁= 6см, SА₁ = х ,

( х + 6 ) : х = 3 : 1, 3х = х + 6 , 2х = 6, х = …, SА₁ = … см.

Ответ: SА₁ = 3 см, SВ₂ = 7,5 см .

В)Пример 1. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных

плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВD на прямую

пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ если:

а) АС = 6 м, ВD = 7 м, СD = 6 м, б) АD = ВС = 5 м, СD = 1 м.

Решение:а)Пусть плоскости α и β перпендикулярны. СD – прямая пересечения плоскостей, тогда АС ⊥СВ и ВD ⊥ АD. Тогда в Δ АСВ:

АВ² = АС² + ВС², но из Δ СDВ следует, что: ВС² = СD² + ВD² , так что

АВ² = АС² + СD² + ВD². АВ² = 6² + 7² + 6² = 36 + 49 + 36 = …, АВ = …

б) АВ² = АС² + ВС², но из Δ СDА следует ,что: АС² = АD² – СD² ,

так что АВ² = АD² – СD² + ВС². АВ² = 5² – 1² + 5² = 25 – 1 + 25 = …, АВ = … Ответ:а) 11 м, б) 7 м.

Пример 2.Плоскости α и β перпендикулярны. В плоскости α взята точка А, расстояние от которой до прямой с (линия пересечения плоскостей) равно 0,5 м. В плоскости β проведена прямая b, параллельная прямой с и отстоящая от нее на 1,2 м. Найдите расстояние от точки А до прямой b.

Решение:Пусть α ⊥ β , b || с, ВС = 1, АВ = 0,5м , где АВ ⊥с и ВС ⊥ b.

Тогда по теореме о 3 – х перпендикулярах АС ⊥ b. Так что

АС – искомое расстояние и АС² = АВ² + ВС² = 1,2² + 0,5² = 1,44 + 0 ,25 = …, АС = …

Ответ: АС = 1,3 м.

С) Построить таблицу:

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Проводим KM ⊥ α (M ∈ α). KM = ρ (K; α).	SO ⊥ α. Проводим KM \|\| SO. Тогда KM ⊥ αи KM = ρ (K; α).	Проводим через точку K плоскость β ⊥ α (β пересекает α по AB). Проводим KM ⊥ AB. Тогда KM ⊥ α и KM = ρ (K; α).

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью

Расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости называется расстояние от произвольной точки этой прямой до плоскости.

a || α, A ∈ a, ρ (a; α) = ρ (A; α). Выбираем на прямой a произвольную точку A и находим расстояние от этой точки до плоскости α.

12 3 Следующая ⇒