Закрепление учебного материала

Закрепление учебного материала

1.Синус суммы двух углов можно получить следующим образом:

- вычисляем произведение синуса первого угла на косинус второго;

- умножаем косинус первого угла на синус первого;

- складываем получившиеся значения.

Графическое написание формулы выглядит так: sin (α+β)=sin α⋅cos β+cos α⋅sin β

2. Синус разности вычисляется почти так же, только полученные произведения нужно не сложить, а вычесть друг из друга. Таким образом, вычисляем произведения синуса первого угла на косинус второго и косинуса первого угла на синус второго и находим их разность. Формула пишется так: sin (α−β)=sin αcos β+sin αsin β

3. Косинус суммы. Для него находим произведения косинуса первого угла на косинус второго и синуса первого угла на синус второго соответственно и находим их разность: cos (α+β)=cos αcos β−sin αsin β

4. Косинус разности: вычисляем произведения синусов и косинусов данных углов, как и ранее, и складываем их. Формула: cos (α−β)=cos α⋅cos β+sin α⋅sin βcos (α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β

5. Тангенс суммы. Эта формула выражается дробью, в числителе которой – сумма тангенсов искомых углов, а в знаменателе – единица, из которой вычитается произведение тангенсов искомых углов. Все понятно из ее графической записи: tg (α+β)=tg α+tg β1−tg α⋅tg βtg (α+β)=tg α+tg β1-tg α·tg β

6. Тангенс разности. Вычисляем значения разности и произведения тангенсов данных углов и поступаем с ними схожим образом. В знаменателе мы прибавляем к единице, а не наоборот: tg (α−β)=tg α−tg β1+tg α⋅tg βtg (α-β)=tg α-tg β1+tg α·tg β

7. Котангенс суммы. Для вычислений по этой формуле нам понадобятся произведение и сумма котангенсов данных углов, с которыми мы поступаем следующим образом: ctg (α+β)=−1+ctg α⋅ctg βctg α+ctg βctg (α+β)=-1+ctg α·ctg βctg α+ctg β

8. Котангенс разности. Формула схожа с предыдущей, но в числителе и знаменателе – минус, а не плюс ctg (α−β)=−1−ctg α⋅ctg βctg α−ctg βctg (α-β)=-1-ctg α·ctg βctg α-ctg β.

Вы, наверное, заметили, что эти формулы попарно схожи. При помощи знаков ±(плюс-минус) и ∓(минус-плюс) мы можем сгруппировать их для удобства записи.

Теперь мы докажем следующую формулу – косинуса суммы. Это проще, поскольку мы можем воспользоваться предыдущими расчетами. Возьмем представление α+β=α−(−β)α+β=α-(-β). У нас есть:

cos (α+β)=cos (α−(− β))==cos α⋅cos (−β)+sin α⋅sin (−β)==cos α⋅cos β+sin α⋅sin β cos (α+β)=cos (α-(- β))==cos α·cos (-β)+sin α·sin (-β)==cos α·cos β+sin α·sin β

Это и есть доказательство формулы косинуса суммы. В последней строчке использовано свойство синуса и косинуса противоположных углов.