Рассмотрим действия над числами

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

Рассмотрим действия над числами

Сложение

Z₁+ Z₂ = (a ₁ + b ₁ i) + (a ₂ + b ₂ i) = a ₁ + b ₁ i + a ₂ + b ₂ i = (a ₁ + a ₂) + (b ₁ + b ₂) i

Вычитание

Z₁- Z₂ = (a ₁ + b ₁ i) - (a ₂ + b ₂ i) = a ₁ + b ₁ i - a ₂ - b ₂ i = (a ₁ - a ₂) + (b ₁ - b ₂) i

Умножение

Z₁ Z₂ = (a ₁ + b ₁ i) (a ₂ + b ₂ i) = a ₁ a ₂ + b ₁ а ₂i + a ₁ b ₂ i + b₁ b ₂i ² =

= a ₁ a ₂ + i (b ₁ а ₂ + a ₁ b ₂) - b ₁ b ₂ = (a ₁ a ₂ - b₁ b ₂) + (b ₁ а ₂ + a ₁ b ₂) i

Например

1) (3 - 5 i) (- 3 + i) = - 9 + 15 i + 3 i - 5 i ² = - 9 +18 i + 5 = - 4 + 18i;

т.к. i ² = - 1, то -5 (-1) = 5

2) (2 - 3 i) (2 + 3 i) = 4 - 9 i ² = 4 + 9 = 13

( a + b i ) ( a - b i ) = a ²- b ² i ² = a ² + b²

Сумма квадратов

Сумма квадратов разлагается на множители только во множестве комплексных чисел

Деление

конкретно на примере:

Возведение в квадрат, куб (используем формулы сокращенного умножения)

Z = ( a + b i ) ²= a ² + 2 a b i + b ² i ² = a ²+ 2 a b i - b ²;

например:

1) ( - 4 + i ) ² = 16 - 8 i + i² = 16 - 8 i - 1 = 15 - 8 i

2) ( 2 - 3 i ) ³ = 8 - 3 2² 3 i + 3 2 ( - 3 i ) ² - 27 i ³ = 8 - 36 i + 54 i ² - 27 i ³ =

= 8 - 36 i - 54 + 27 i = - 46 - 9 i

Выполнить действия

при этих действиях использованы правила: i³=-i; i²=-1; (a-b)²=a²-2∙a∙b+b², а теперь разделим, для этого умножим знаменатель на сопряженное ему число (-5 + 12i) , а чтобы дробь не изменилась, умножаем и числитель на это число, т.е.

⇐ Предыдущая 12