Управляемость и наблюдаемость

Стр 1 из 2Следующая ⇒

МОДЕЛИ СИСТЕМ В ФОРМЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ

Математическая модель системы в форме дифференциальных уравнений может быть задана различными способами:

· Дифференциальное уравнение n – го порядка;

· Система дифференциальных уравнений 1 – го порядка (n – уравнений);

· Модель в форме пространства состояний

МОДЕЛЬ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ

1.1 Переход от ОДУ n –го порядка к модели в форме пространства состояний. («вх-вых» «пр-во сост.»)

Состояние одномерного объекта определяется не только измеряемой выходной переменной, но и скоростью ее изменения, ускорением и т.д. Эти величины: y, y`,y``,…,y⁽ⁿ⁾ и относим к переменным состояния. В этом случае, ОДУ удобно представить в форме системы уравнений первого порядка (форма Коши).

Общий вид ММ в пространстве состояний:

y - выходная переменная;

u – управляющее воздействие.

Переход от ОДУ n – го порядка к модели в пространстве состояний может быть осуществлен различными способами.

u x₁

Объект

Система измерения

x_n

Модель вход – выход:

От описания в форме вход – выход необходимо перейти к описанию объекта в пространстве состояний. За переменную состояния примем не только y, но и y`, y``,…, y⁽ⁿ⁾.

Запишем модель (1) в виде:

Начальные условия:

Обозначим:

………………………….

Из (2) имеем:

Таким образом, имеем систему уравнений:

В матричной форме (в развернутом виде):

Данная форма называется «наблюдаемая» форма модели в пространстве состояний.

В Этом случае измеряется выходная переменная y.

Существуют и другие формы моделей в пространстве состояний, например

«управляемая» форма представления модели.

Представим ДУ (1) в операторной форме:

Обозначим:

Выразим y и u через

Введем переменные состояния:

(7)

Воспользуемся (6), применим оператор P к с учетом (7):

Определим:

Из (5) определим:

1.2 Переход от модели в пространстве состояний к модели «вход – выход».

Преобразуем по Лапласу:

(*)

При нулевых начальных условиях будем иметь:

Отсюда передаточная функция объекта:

Из уравнения (*) с учетом начальных условий:

Оригинал вычисляется с помощью обратного преобразования Лапласа.

Для одномерного случая:

Для матричного варианта:

Второе слагаемое в (***) – произведение изображений, которому соответствует свертка оригиналов.

Таким образом, имеем оригинал:

Весовая функция объекта – реакция на единичный импульс: из (**) имеем:

Переходная функция – это интеграл от функции веса.

2. Управляемость и наблюдаемость

Модель системы:

Система (объект) полностью управляем, если, с помощью за конечное время она может быть переведена из любого начального состояния в любое наперед заданное состояние .

Формально – математическое условие управляемости заключается в том, что ранг матрицы управляемости равен n, т.е. матрица имеет полный ранг:

(2)

(имеется процедура в MATLABе)

Докажем условие (2)

u x

Объект

Система измерения

…. сист. (1):

Разложим в ряд:

Подставим это выражение в (3):

Данное выражение можно записать в матрично – векторной форме:

Управляющее воздействие u будет влиять на все состояния только тогда, когда строки матрицы линейно независимы, т.е. . В этом случае не будет нулевых строк в матрице .

Условие управляемости по выходам можно получить умножив обе части (3) слева на матрицу С.

12 Следующая ⇒