Тема: бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

08.11.2021

Тема: бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Цель урока:выдолжны ознакомиться с новым видом последовательности – бесконечно убывающей геометрической прогрессией, выучить определение, формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

В 9 классе вы изучали арифметическую и геометрическую прогрессии.

1. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой,

начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

2. Формула n-го члена арифметической прогрессии

( )

3. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

( или )

4. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел,

каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на

одно и то же число.

5. Формула n-го члена геометрической прогрессии

( )

6. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии.

( )

Изучение новой темы

Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Нарисуем ещё один квадрат, сторона которого равна половине первого квадрата, затем ещё один, сторона которого – половина второго, потом следующий и т.д. Каждый раз сторона нового квадрата равна половине предыдущего.

В результате, мы получили последовательность сторон квадратов образующих геометрическую прогрессию со знаменателем .

И, что очень важно, чем больше мы будем строить таких квадратов, тем меньше будет сторона квадрата. Т.е. с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

Рассмотрим ещё один пример. Равносторонний треугольник со стороной равной 1см. Построим следующий треугольник с вершинами в серединах сторон 1-го треугольника, по теореме о средней линии треугольника – сторона 2-го равна половине стороны первого, сторона 3-го – половине стороны 2-го и т.д. Опять получаем последовательность длин сторон треугольников.

при .

Если рассмотреть геометрическую прогрессию с отрицательным знаменателем.

Опять, с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

Обратим внимание на знаменатели этих последовательностей. Везде знаменатели были меньше 1 по модулю.

Определение:

12 Следующая ⇒