Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент.

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент.

Векторное поле.

1. Производная в данном направлении.

Определение: Если функция U(x,y,z) дифференцируема, то производная от неё в направлении вектора есть:

, где

Задача. Найти производную скалярного поля в точке в направлении вектора

1. Þ

2. , ,

Задача. Найти производную скалярного поля в точке по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси Oz.

1. Т.к. нормаль задана как внешняя, то

2. Градиент скалярного поля.

Определение: Градиентом скалярной функции U=U(x,y,z) в точке называется вектор

выходящий из точки и указывающий направление наибыстрейшего роста функции U.

Определение: Градиент функции и производная в направлении связаны соотношением:

Задача. Найти точки, в которых функция стационарна (т.е. точки, в которых производная по любому направлению равнялась нулю).

2. Необходимо и достаточно, что бы все частные производные первого порядка в данных точках равнялись нулю, т.е. функция стационарна в точках .

Задача. Найти угол между градиентами скалярных полей и в точке .

Ответ:

3. Векторные линии.

Определение: Векторной линией называется линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением векторного поля и определяются они системой дифференциальных уравнений:

Задача. Найти векторные линии в векторном поле .

1. Из

Векторными линиями данного поля будут эллипсы расположенные в плоскостях перпендикулярных оси Ох.

12 Следующая ⇒