ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПРИМЕР 1. В урне 3 красных и 4 белых шара, 5 красных, 2 белых и 6 черных кубов. Из урны наудачу вынимается одно изделие. Найти вероятность того, что выбранное изделие а) либо белое, либо черное; б) либо красное, либо куб.

РЕШЕНИЕ: а) Рассмотрим события:

A — изделие белое; , так как всего изделий 20, а белых шесть.

B — изделие черное, .

Событие C — изделие либо белое, либо черное можно представить как сумму событий A и B. Следовательно, .

События A и B несовместны, так как вынутое изделие не может быть одновременно и белым и черным. Тогда .

б) Введем события

D — изделие красное; ;

E — изделие куб; ;

F — изделие либо красное, либо куб; .

События D и E совместны, так как вынутое изделие может оказаться красным кубом . Тогда

ПРИМЕР 2. В ящике 10 деталей, 3 из которых бракованные. Наудачу вынимают два изделия. Найти вероятность того, что оба изделия бракованные, если первое изделие: а) возвращается в ящик; б) в ящик не возвращается.

РЕШЕНИЕ. Введем события

A — первое изделие бракованное,

B — второе изделие бракованное,

C — оба изделия бракованные.

Событие C представляет собой произведение событий A и B; C=AB.

а) Если первое изделие возвращается в ящик, то вне зависимости от того, какое изделие было первое, то есть A и B — независимые события. Тогда .

б) Если изделие не возвращается, то вероятность события B будет меняться в зависимости от того, какое изделие было вынуто первым (бракованное или небракованное). Найдем вероятность события B в предположении, что первое изделие оказалось бракованным. , так как всего осталось 9 изделий, два из которых бракованные. Тогда

ПРИМЕР 3 Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет: а) только один из стрелков; б) хотя бы один стрелок.

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим события

первый стрелок попал; ;

первый стрелок промахнулся; ;

второй стрелок попал; ;

второй стрелок промахнулся; .

а) Событие B попал только один стрелок, используя алгебру событий, можно представить в виде
.

Тогда по теореме сложения вероятностей несовместных и умножения независимых событий имеем:

б) Событие C попал хотя бы один стрелок можно представить как сумму двух несовместных событий: B — попал только один стрелок и D- попали оба стрелка

Однако вероятность события C можно найти другим способом. Рассмотрим событие оба промахнулись,

Тогда .

ПРИМЕР 4. Вероятность выхода из строя хотя бы одного их трех станков в течение смены равна 0,488. Найти вероятность выхода из строя одного станка за смену, если вероятности выхода из строя каждого станка одинаковы.

РЕШЕНИЕ. Пусть A — выход из строя хотя бы одного станка. Тогда нормальная работа всех трех станков; . Обозначим через p вероятность нормальной работы каждого станка, тогда или . Вероятность выхода из строя каждого станка вычисляется .

⇐ Предыдущая 12