Понятие об итерационных методах решения СЛАУ.

1. Понятие об итерационных методах решения СЛАУ.

В отличие от прямых методов, итерационные методы обычно не дают точного ответа за конечное число шагов, однако на каждом шаге уменьшают ошибку на какую-то долю. Итерации прекращают, когда ошибка становится меньше допуска, заданного вычислителем (пользователем). Величина финальной ошибки зависит от количества итераций, а также от свойств метода и СЛАУ. Другими словам, итерационные методы дают решение СЛАУ в виде предела последовательности некоторых векторов, построение которых осуществляется посредством единообразного процесса, называемого итерационным процессом.

Рассмотрим два простейших итерационных метода решения СЛАУ – метод простой итерации и метод Зейделя.

Пусть требуется решить СЛАУ

(1)

Итерационные методы решения системы уравнений (1) состоят в построении последовательности векторов

(2)

по некоторому алгоритму, такому, что из следует . При этом

(3)

где – точное решение системы, а – называется начальным приближением решения.

Вычисления ведутся до тех пор, пока норма разницы двух последовательных приближений не станет

, (4)

где e – малое положительное число (заданная точность). С точностью до e решение принимается равным .

12 Следующая ⇒