Хелпикс

Главная

Контакты

Случайная статья



Тема: Методы интегрирования заменой переменной и по частям.

Стр 1 из 3Следующая ⇒


Тема: Методы интегрирования заменой переменной и по частям.

Теоретические сведения к практической работе

Функция , определенная на интервале , называется первообразной для функции , определенной на том же интервале , если

Если  — первообразная для функции , то любая другая первообразная для функции  отличается от  на некоторое постоянное слагаемое, т. е.  где .

Неопределенным интегралом от функции  называется совокупность всех первообразных для этой функции. Обозначается неопределенный интеграл:  где

Операция нахождений первообразной для данной функции называется интегрированием. Интегрирование является обратной операцией к дифференцированию:

Для проверки правильности выполненного интегрирования необходимо продифференцировать результат интегрирования и сравнить полученную функцию с подынтегральной.

Свойства неопределенного интеграла:

1.

2.

3.

4.

Таблица основных интегралов

1.                            2.

3.             

4.                                        5.

6.                                         7.

8.                              9.

10.                               11.

12.          13.

14.                    15.

16.                    17.

18.

Каждая из приведенных в таблице формул справедлива на промежутке, не содержащем точек разрыва подынтегральной функции. Вычисление интегралов с использованием таблицы и основных свойств называют непосредственным интегрированием.

Пример 1. Пользуясь таблицей основных интегралов и свойствами неопределенного интеграла, найти интегралы (результат интегрирования проверить дифференцированием):

 

Решение.

Проверка:

Проверка:

Метод замены переменной

Теорема 1. Пусть монотонная, непрерывно дифференцируемая функция, тогда

                   (1)

При этом, если  то  где — функция, обратная .

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Алгоритм замены переменной:

1) Связать старую переменную интегрирования  с новой переменной  с помощью замены .

2) Найти связь между дифференциалами .

3) Перейти под знаком интеграла к новой переменной.

4) Проинтегрировать и в полученной первообразной вернуться к старой переменной, подставив

Пример 2. Проинтегрировать подходящей заменой переменной.

 

Решение:

Интегрирование по частям.
Некоторые виды интегралов, вычисляемых по частям

Если производные функций  и  непрерывны, то справедлива формула:

                            (3)

называемая формулой интегрирования по частям.

В качестве   обычно выбирают функцию, которая упрощается при дифференцировании.

Некоторые стандартные случаи функций, интегрируемых по частям, указаны в таблице 1. Там же дается способ выбора множителей  и .

Таблица 1

Вид интеграла

 

 

Вид интеграла

— многочлен от  степени , т. е. , где .

Пример 3.Проинтегрировать по частям.

Решение.


123Следующая ⇒
  

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.