Корреляционный момент. Коэффициент корреляции

Корреляционный момент

Определение 2. Корреляционным моментом случайных величин X и Y (или ковариацией) называется математическое ожидание произведений их отклонений:

Корреляционный момент служит для описания связи между случайными величинами X и Y. Из свойств математического ожидания легко убедиться в том, что μ_ху можно записать в следующем виде:

Для непосредственного вычисления корреляционного момента (ковариации) используется формула (см. распределение (15.21))

ТЕОРЕМА 15.3. Корреляционный момент двух независимых случайныx величин X и Y равен нулю.

Если корреляционный момент μ_ху не равен нулю, то, стало быть, величины X и Y являются зависимыми.

Коэффициент корреляции

Из определения корреляционного момента следует, что его размерность равна произведению размерностей величин X и Y; например, если X и Y измерены в сантиметрах, то μ_ху имеет размерность см².

Это обстоятельство затрудняет сравнение корреляционных моментов различных систем случайных величин. Для устранения этого недостатка вводят безразмерную числовую характеристику — коэффициент корреляции, величина которого не зависит от выбора системы измерения случайных величин.

Определение 3. Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называется отношение их корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

Из определения и свойств математического ожидания и дисперсии следует важный вывод, что абсолютная величина коэффициента корреляции не превосходит единицы:

Определение 4.Две случайные величины X и Y называются коррелированными, если их корреляционный момент (коэффициент корреляции) отличен от нуля (т.е. величины зависимы); если же их корреляционный момент равен нулю, то X и У называются некоррелированными.

Таким образом, две коррелированные случайные величины (т.е. при r_ху ≠ 0) являются также и зависимыми. Обратное утверждение неверно, т.е. две зависимые величины могут быть как коррелированными, так и некоррелированными.

Пример 2. Найти корреляционный момент и коэффициент корреляции двух случайных величин X и У, распределения которых заданы в предыдущем примере 1.

Решение.Воспользуемся формулами (15.24),

(15.26),

атакже формулой вычисления центрального момента второго порядка (15.19);

последовательно вычисляем:

М(Х)=0,1+0,2+0,3+0,44+0,36+0,63=2,03, М(У)=0,1+0,15+0,12+0,4+0,44+0,42=1,63,

М(Х²)=0,1+0,2+0,6+0,88+1,08+1,89=4,75

{М(Х)}² =4,1209,

D(X) = D(X) = М(Х²) - [М(Х)}²=4,75-4,1209=0,629, D(Y) = 0,233,

В данном случае коэффициент корреляции близок к нулю; это означает, что случайные величины X и У слабокоррелированы.

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒