Формальный язык

§1.1. Формальный язык

Для формализации математических текстов введём так называемые логические связки:

Название	Прочтение	Обозначение
Отрицание	не
Конъюнкция	и
Дизъюнкция	или
Импликация	если …, то …
Эквиваленция	тогда и только тогда, если и только если, в том и только том случае, согда

Вообще говоря, эти связки имеют больший смысл, чем просто сокращение слов разговорного языка. Интересующегося читателя мы обращаем к изучению математической логики и булевой алгебры — см. [1]–[5].

Все приведённые выше логические связки, за исключением одной, — «бинарные». Это означает, что они связывают два высказывания.

Пример 1.1.1. Запись означает, что делится на (к примеру, ). Тогда имеет место теорема, которую на формальном математическом языке можно выразить так: В переводе на русский: «если число делится на ноль, то это число само есть ноль»^{^[1]}.

«Унарной» является связка , она применяется к одному высказыванию.

Пример 1.1.2. Запись означает .

Помимо логических связок нам также понадобятся так называемые кванторы:

Название	Прочтение	Обозначение
Квантор всеобщности	для любого …
Квантор существования	существует …
Квантор существования и единственности	существует и единственен

Слово квантор происходит от англ. quantity (количество); символ — от англ. any (любой); символ — от англ. exists (существует).

Используются разные синтаксические нормы, но мы будем окаймлять скобками кванторы вместе с переменными, которые они «связывают», а также следующие за ними высказывания.

Если — некоторое свойство, то означает, что свойство выполнено для всех объектов (обычно ещё указывают, откуда эти объекты берутся); означает, что хотя бы для одного объекта выполнено свойство .

Пример 1.1.3. Запись

можно прочесть так: «для любых элементов , и из множества справедливо равенство ». Кванторы могут также употребляться один за другим. Запись

читается так: «во множестве существует такой элемент , что для любого элемента множества справедливо равенство »^{^[4]}.

Очень важно понимать, что нельзя менять в порядке различные кванторы: означает принципиально иное, нежели .

Польза записи математических текстов на формальном языке проявляется не только в компактности, но и в простоте международных коммуникаций. Замечу, опираясь на собственный опыт, что овладение таким формальным языком пригождается не только в математике, но и в других дисциплинах, когда нужно поспевать конспектировать лекции быстро читающих преподавателей.

Как и в примере 1.1.2 слово означает мы впредь будем заменять символом .

Символ означает «равно по определению».

Пример 1.1.4. Число есть отношение длины окружности к её диаметру :

Установим некоторые соотношения, необходимые нам для дальнейшей работы. Их доказательство требует более детального обсуждения формальной теории, которая выходит далеко за рамки курса математического анализа, поэтому мы вынесли его в упражнения. Важно помнить, что это всё-таки — теорема 1.1.1:

(1) Коммутативность конъюнкции
(2) Коммутативность дизъюнкции
(3) Ассоциативность конъюнкции
(4) Ассоциативность дизъюнкции
(5) Дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции (слева и справа)
(6) Дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции (слева и справа)
(7) Идемпотентность конъюнкции
(8) Идемпотентность дизъюнкции
(9) Снятие двойного отрицания
(10) Законы де Моргана

Заметим, что после установления коммутативности произвольной операции , из её дистрибутивности относительно другой операции слева (или справа) следует её дистрибутивность относительно справа (соответственно, слева).

В курсе алгебры доказывается так называемое свойство обобщённой ассоциативности, согласно которому в выражении , если операция ассоциативна, расстановка скобок не играет роли, а потому все скобки можно опустить^{^[5]}. А если операция ещё и коммутативна, то не играет роли также порядок операндов. Примем это во внимание и для операций и , коль скоро они и ассоциативны, и коммутативны. Таким образом, можно положить следующие определения:

12 Следующая ⇒