Практическая работа. Исследование функции с помощью производной. Задание

Практическая работа

Исследование функции с помощью производной

Цель работы: Закрепить и обобщить умения и навыкиисследования функций и построения графиков с помощью производной.

Дидактический материал для выполнения практической работы:

Методические рекомендации для выполнения практических работ, тетрадь для практических работ, конспект лекций.

Задание

1 ВАРИАНТ

1. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции y = 2x²-20x+1_.

2. Найти наименьшее и наибольшее значение функции f(x) = 4x⁴-8x²+5 на отрезке [–1; 4].

3. Исследовать функцию y= -x³+4x²-4x и построить ее график.

2 ВАРИАНТ

1. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции y = 3x²+36x-1_.

2. Найти наименьшее и наибольшее значение функции f(x) = x⁴-8x²+5 на отрезке [–2; 1].

3. Исследовать функцию y= x³+6x²+9x и построить ее график.

Требования к отчету:

Отчет должен содержать решение заданий с указаниями на теоретические факты, использованные при решении.

Теоретические положения:

СХЕМА ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ИНТЕРВАЛОВ МОНОТОННОСТИ И ЭКСТРЕМУМОВ

Этапы

Примердля функции

у = 2х³ - Зх² - 36х + 5

Найти область определения функции и интервалы, на которых функция непрерывна.

Обл. определения: R

Функция непрерывна во всей обл. определения

Найти производную f'(x).

f'(x)=6x²-6x-36

Найти критические точки, т.е. точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.

f'(x)=0, 6x²-6x-36=0,

x₁=-2, x₂=3

В каждом из интервалов, на которые область определения разбивается критическими точками, определить знак производной и характер изменения функции (с помощью достаточных условий монотонности).

Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума, минимума или не является точкой экстремума.

x=-2 -точка максимума (x_max=-2)

x=3-точка минимума (x_min=3)

Записать результат исследования функции: промежутки монотонности и экстремумы.

f(x) возрастает при х (; -2) и

при х (3;);

f(x) убывает при x (-2; 3);

x_max=-2, y_max = f(-2) = 49;

x_min=3, y_min = f(3)= -76

12 Следующая ⇒