Формула Бернулли.

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Друзья!

Продолжаем изучать следствия из теорем сложения и умножения

вероятностей:

1. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Пусть событие Аможет произойти только с одним из событий H , H ,…H

образующих полную группу событий, тогда вероятность события А

вычисляют по формуле полной вероятности:

P(A)=P(H ) P (A)+P(H ) P (A)+…+P(H ) P (A)

Если событие Ауже произошло, то вероятность события H можно переоценить по

формуле Байеса:

P (H )= , где i =1,2,…,n, а P(A)- вычисляется по формуле полной

вероятности.

Задача.

На фабрике, изготовляющей болты, первый автомат производит 25%, второй – 35%, третий – 40% всей продукции. Брак в их продукции составляет соответственно по 5%, 4%, 2%. Найти:

а) вероятность того, что случайно выбранный болт оказался дефектным;

б) вероятность того, что если случайно выбранный болт оказался дефектным, то он произведен первым автоматом.

Решение.

Обозначим через А событие, состоящее в том, что случайно выбранный болт – дефектный.

H , H , H - события, состоящие в том, что этот болт произведен соответственно первым, вторым и третьим автоматом. Очевидно, что H , H , H есть полная группа событий. Вероятности этих событий: P(H )=0.25, P(H )=0.35, P(H )=0.40

Тогда по формуле полной вероятности:

P(A)=P(H ) P (A)+ P(H ) P (A)+ P(H ) P (A)=0.25 0.05+0.35 0.04+0.40 0.02=0.0345

Теперь требуется определить условную вероятность P (H ), т.е. вероятность события H (болт произведен первым автоматом) при условии, что произошло событие А(этот болт оказался дефектным). По формуле Байеса:

P (H )= = =0.3623

2. В первом ящике 20 деталей, из них 15 стандартных, во втором – 30 деталей, из них 24 стандартных, в третьем – 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика стандартная.

Решение.

Обозначим события: А –деталь стандартная,

H - выбрали первый ящик.

H - выбрали второй ящик.

H - выбрали третий ящик.

Тогда P(H )= , P(H )= , P(H )= ;

Условные вероятности: P (A)= , P (A)= , P (A)= .

Вероятность того, что деталь стандартная, вычисляем по формуле:

P(A)=P(H ) P (A)+ P(H ) P (A)+ P(H ) P (A)=

2.Формула Бернулли.

Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют НЕЗАВИСИМЫМИ относительно события А.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p, событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности), равна

12 Следующая ⇒