Исследование функций с помощью производной

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

Исследование функций с помощью производной

Возьмем функцию

Изучение функции разобьем на 3 части.

1. Непосредственное исследование функции.

Функция не существует при х=1. Следовательно, ее область определения

Здесь значит, х=1 есть вертикальная асимптота. При х=0 у=-2. Найдем наклонную асимптоту y=kx+b. Здесь

Те же к и b получим при Таким образом, наклонная асимптота у=х-1.

Эта функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.

2. Исследование функции с помощью первой производной.

Найдем производную этой функции

Отсюда получаем, что

Строим таблицу

x	(- ,0)		(0,1)	(1,2)		(2,+ )
y’	+		-	-		+
y		-2 max			min

Таким образом, при х=0 имеем максимум у=-2.

При х=2 будет минимум у=2.

3. Изучение функции с помощью второй производной.

Найдем вторую производную

Отсюда получим Вторая производная не существует при х=1. Для нее также построим таблицу.

x	(- ,1)	(1,+ )
Y’’	-	+
y

Как видим, точки перегиба здесь нет.

Для построения графика проводим вначале асимптоты х=1, у=х-1. Здесь будут две кривые.

При x<1 левая кривая имеет максимум у=-2 при х=0. Вписываем эту кривую между асимптотами. При x>1 наносим точку минимума у=2 при х=2. Вторая кривая разместится между вертикальной и наклонной асимптотами.

Иногда требуется найти дополнительные точки.

Здесь, например, при х=3 у=5/2, при х=-2

Y=-10/3. Проверьте это на Вашем графике.

Домашнее задание

Проведите полное исследование и постройте графики двух функций

⇐ Предыдущая 12