Вычисление объемов тел. Вычисление площади поверхности вращения

Вычисление объемов тел

Если криволинейная трапеция вращается вокруг оси ОХ, то объем полученного при этом тела вычисляется по формуле

1. Найти объем эллипсоида, образованного вращением эллипса

вокруг оси ОХ. Здесь

2. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси ОХ кривой в промежутке от х=0 до х=π. Объем

Если известна площадь поперечного сечения тела, то объем можно вычислять как

3. Найти объем тела, ограниченного однополостным гиперболоидом

и плоскостями z=0, z=h.

Здесь в сечениях, параллельных плоскости ХУ, будут эллипсы. Найдем площади, которые они образуют:

Тогда

Объем

Вычисление площади поверхности вращения

Если кривая y=f(x) вращается вокруг оси ОХ, то полученная при этом площадь находится по формуле

1. Найти площадь поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды x=a(t-sint),

y=a(1-cost) вокруг оси ОХ. Здесь в параметрическом виде

Производные

Пределы по t будут от 0 до 2π. Площадь