![]()
|
|||||||
Ранг матрицы. Решение системы линейных уравнений матричным методом. Метод Гаусса ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2 Ранг матрицы Рангом матрицы называется наибольший из порядков отличных от нуля ее миноров. Ранг может быть равен 1,2,3,… 6.Например, если в матрице
При нахождении ранга матрицы обычно применяют так называемые элементарные преобразования. 7. Определить ранг матрицы Здесь сделали два преобразования: вычеркнули второй нулевой столбец и третью строку умножили на -2. Затем к второй строке прибавим третью и вычеркнем третью нулевую строку: В полученной матрице можно получить три определителя второго порядка путем зачеркивания столбцов и все они не будут равны нулю. Значит, ранг этой матрицы r(A)=2. Решение системы линейных уравнений матричным методом Давайте решим этим методом систему из примера 4. 8. Обозначим Тогда наша система в матричном виде запишется как Ее решением будет
Отсюда получаем: x=2, y=-1, z=3.
Метод Гаусса Его называют также методом последовательного исключения. Рассмотрим 2 способа решения в этом случае. 9. Решить систему Здесь нужно, чтобы в первом уравнении перед первой неизвестной была 1. Если это не 1, то на этот коэффициент делят все первое уравнение. Чтобы избежать вычислений с дробями, давайте поменяем местами первое и третье уравнения. Тогда система примет вид:
Исключим у из третьего уравнения. Для этого умножим второе уравнение на -7 , прибавим к третьему и получим
Мы осуществили прямой ход метода Гаусса. Решения системы находятся обратным ходом: z=4, y=z-3=1, x=y-2z+6=-1. Данная система является совместной и определенной. 10. Решим следующую систему с помощью расширенной матрицы и элементарных преобразований по Гауссу:
Составим расширенную матрицу, затем первую строку умножим на -2 и прибавим ко второй, первую строку умножим на -3 и прибавим к третьей, в следующей записи вторую строку умножим на 2:
Дальше от второй строки отнимаем третью, чтобы вместо 6 получить 1, вторую строку умножаем на -5 и прибавляем к третьей, в последней записи третью строку сокращаем на 2:
Полученная матрица соответствует системе Это прямой ход метода, обратным ходом находим: Если в последней строке, например вместо 1, стоит 0, то уравнение системы становится противоречивым, система не совместна и не имеет решения.
|
|||||||
|