Контакты

Случайная статья

Метод вариации постоянных решения неоднородных ЛДУ n-го порядка (вывод для ).

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

Метод вариации постоянных решения неоднородных ЛДУ n-го порядка (вывод для ).

Пусть – линейный дифференциальный оператор с переменными коэффициентами. Рассмотрим ЛНДУ:

Соответствующее ЛОДУ:

Общее решение ЛОДУ:

.

– ФСР ЛОДУ,

– произвольные постоянные.

Теорема. Общее решение ЛНДУ ( ) имеет вид

,

– ФСР соответствующего ЛОДУ,

производные функций определяются из СЛАУ

Замечание 1. СЛАУ (2.13.2) имеет единственное решение для , т.к. ее определитель ( ).

Замечание 2. Функций

Тогда

,

– произвольные постоянные.

Док-во (случай ). Рассмотрим ЛНДУ

– линейный дифференциальный оператор 2-го порядка.

– произвольные постоянные

СЛАУ (2.13.2) имеет вид

, или

.

1. Покажем, что если и удовлетворяют (2.13.3), то функция – решение ЛНДУ (2.13.1).

в силу (2.13.3)).

в силу (2.13.3)).

Тогда

Таким образом – решение ЛНДУ (2.13.1).

2. Решив СЛАУ (2.13.3), получим решение вида

.

Покажем, что для , такие, что решение , соответствующее и , удовлетворяет начальным условиям

.

Для и получим систему

- СЛАУ с определителем , т.к. – ФСР ЛОДУ,

т.е. – общее решение.

Пример.

(метод неопределенных коэффициентов неприменим!).

Соответствующее ЛОДУ:

,

,

,

,

,

,

,

,

⇐ Предыдущая 12

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.