случай кратных комплексных корней характеричтического уравнения (возможен только при

4. случай кратных комплексных корней характеричтического уравнения (возможен только при

Пусть – корни кратности , . Им соответствуют линейно независимых решений:

Теорема о структуре общего решения неоднородного ЛДУ n-го порядка. Теорема о наложении частных решений.

– линейный дифференциальный оператор с переменными коэффициентами

Теорема (о структуре общего решения неоднородного ЛДУ n-го порядка).

Пусть – частное решение ЛНДУ . Тогда

Док-во: нужно доказать, что такие, что функция – решение ЛНДУ, удовлетворяющее начальным условиям

Решение задачи Коши существует и определено на в силу теоремы существования. Рассмотрим разность :

Т.е. – решение ЛОДУ; – ФСР ЛОДУ;

Теорема (о наложении частных решений).

Пусть – частное решение ЛНДУ; ; – частное решение ЛНДУ; . Тогда – частное решение ЛНДУ

Док-во:

Нахождение частных решений неоднородного ЛДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

Пусть – линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами. Рассмотрим ЛНДУ:

– квазимногочлен;

– многочлен степени ;

Тогда частное решение ЛНДУ (2.12.1) вида

– многочлен степени ; , если не является корнем характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ; если – корень, то равен кратности корня .

Замечание. Коэффициенты - неопределенные (заранее не известные), находятся методом неопределенных коэффициентов.

Пример 1.

Соответствующее ЛОДУ: ,

Найдем .

;

– корень характеристического уравнения ЛОДУ кратности

Чтобы найти и , подставим функцию в ЛНДУ:

Коэффициент при 2

Коэффициент при .

Получаем СЛАУ относительно и

Рассмотрим ЛНДУ с постоянными коэффициентами

– многочлен степени ;

Тогда

; – многочлены степени ;

, если не является корнем характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ; равен кратности корня, если является корнем.

Пример 1.

(уравнение колебаний при наличии внешней периодической силы частоты ).

,
.

Найдем .

(частота внешней силы равна собственной частоте резонанс, амплитуда колебаний неограниченно возрастает).

Чтобы найти и , подставим в ЛНДУ:

Коэффициент при

Пример 2.

Чтобы найти и , подствим в ЛНДУ:

Коэффициент при .