Табл.2.1. Результаты оценивания отдельным экспертом

Табл.2.1. Результаты оценивания отдельным экспертом

С₁ С₂ С₃ С₄ С₅

А₁ 0₁₁ 0₁₂ 0₁₃0₁₄ 0₁₅

А₂ 0₂₁ 0₂₂ 0₂₃ 0₂₄ 0₂₅

А₃ 0₃₁0₃₂ 0₃₃ 0₃₄ 0₃₅

В табл. 2.1. в качестве результатов экспертного опроса 0_ij могут выступать как объективные, так и субъективные измерения (они характеризуют степень предпочтения экспертом решения А_i относительно цели С_j)

Например, значения цены и веса могут быть получены расчетным путем на основе технико-экономического обоснования. В то же время дизайн и оценка новизны должны быть результатом субъективных измерений. Т.о., все цели или критерии являются разнокачественными и несоизмеримыми. Очевидно, для получения обобщенной оценки альтернатив, согласованной относительно всех целей, необходимо, чтобы эксперт измерял свои предпочтения в единой шкале. Это можно сделать различными способами. Одним из них является непосредственная оценка, которая заключается в приписывании объектам конкретных числовых значений в определенной шкале. Например, степень предпочтения данной альтернативы для достижения определенной цели может быть выражена числом от 0 до1 (0- не соответствует, 1- полностью соответствует требованиям критерия), в 10- бальной шкале, в процентной шкале и т.п.

Предположим, что критерии не равнозначны поэтому для каждой цели C_k эксперт измеряет свои предпочтения приписывая ей определенный вес – w_k в какой либо шкале. Для удобства представим веса целей в шкале 0 – 1, нормируя их значения:

= , (2.1)

при этом выполняется условие нормировки:

(2.2)

Например, пусть в рассматриваемом примере эксперт, оценивая важность целей по 10-бальной шкале. Цели C₁, C₂, C₃, C₄, C₅ получили следующие оценки:

w₁= w₂= 3, w₃= w₄= 2, w₅=10.

По формуле (2,1) найдем нормированные веса целей:

Условие (2.2) позволяет в качестве обобщенной оценки каждой альтернативы A_i использовать средневзвешенную величину:

p_i = (2.3)

В рассматриваемом примере соответствия альтернативы Ai критерию Aj были произведены в процентной шкале. При этом, чем ближе показатель к 100%, тем больше новый тип изделия отвечает критерию. В табл. 2.2 представлены результаты экспертных измерений и значения весов целей.

Табл. 2.2. Экспертные оценки в процентной шкале и нормированные веса целей.

С₁ С₂ С₃ С₄ С₅

А₁ 100 80 80 30 60

А₂ 80 100 40 80 60

А₃ 50 80 30 100 100

w_i 0,15 0,15 0,1 0,1 0,5

Отсюда обобщенные оценки предпочтений эксперта для изделий A₁, A₂, A₃, будут соответственно S₁, S₂, S₃:

S₁= 100·0, 15 + 80·0,15 + 30·0,1 + 60·0,5 = 68%

S₂= 80·0,15 + 100·0,15 + 40·0,1 + 80·0,1 + 60·0,5 = 69%

S₃= 50·0,15 + 80·0,15 + 30·0,1 + 100·0,1 + 100·0,5=82,5%

Т.о., наиболее предпочтительной альтернативой будет производство изделия A₃.

Если оценку проводит несколько экспертов, то каждому из них соответствует таблица результатов типа табл. 2.2. Лицо, принимающее решение с целью минимизации риска может оценить компетентность каждого эксперта. Эта оценка также может быть выражена в виде нормированных весов, сумма которых равна единице. Тогда, общая оценка предпочтения каждой альтернативы, согласованная относительно всех целей (критериев) и экспертов с учетом их значимости будет вычисляться как взвешенная величина:

S_i^общ = v₁S_i¹+ v₂S_i² + …+ v_nS_iⁿ

Где v_j - вес j-го эксперта ( ), Si^j – оценка предпочтения i-ой альтернативы, полученная на основе измерений j-го эксперта.

Например, пусть три эксперта провели оценку каждой новой модели изделия. Пусть для первой модели А₁ обобщенные оценки, взвешенные относительно весов целей были S₁¹= 68, S₁²= 65,3, S₁³= 74,2. Веса экспертов имели значения: v₁=0,3; v₂= 0,4; v₃ = 0,3. Отсюда S₁^общ= 0,3·68 + 0,4·65,3 + 0,3·74,2 = 69,86

2.2. Ранжирование решений

Если проводится непосредственная оценка, то предполагается достаточно полная информированность экспертов о свойствах оцениваемых объектов (решений). Измеряя свои предпочтения в какой-либо количественной шкале, эксперт с определенной степенью точности утверждает, что данный вариант решения по сравнению с другим вариантом на столько - то процентов или баллов или во столько - то раз предпочтительнее для достижения определенной цели (в большей степени соответствует данному критерию). Если для решения проблемы требуется только определить какая альтернатива более предпочтительна, а какая менее, то субъективные измерения гораздо проще проводить в порядковой шкале. На основе знаний и опыта эксперт располагает решения в порядке предпочтения, руководствуясь одним или несколькими показателями сравнения. В результате сравнения решения составят упорядоченную последовательность А₁>А₂>А₃…>А_m, где объект с первым номером является наиболее предпочтительным из всех объектов, объект со вторым номером менее предпочтителен первому объекту, но предпочтительнее всех остальных объектов и т.д. Кроме отношений «более предпочтительный» (символ >) и «менее предпочтительный» (символ <) между решениями может быть отношение эквивалентности (символ ~ ). Упорядочение решений в этом случае может иметь, например, следующий вид

А₁>А₂>А₃ ~ А₄ ~ А₅ >…>А_m

В этом случае эквиваленты между собой решения А₃, А₄ и А₅.

Такая процедура упорядочения называется ранжированием. При ранжировании применяется шкала порядка. Числа в этой шкале (ранги) определяют ранжировку решений, т.е. определяют порядок их следования, но не дают возможности сказать на сколько или во сколько раз один объект предпочтительнее другого. На практике числовое представление ранжировки характеризуется набором рангов, где наиболее предпочтительному решению присваивается ранг, равный 1, второму по предпочтительности ранг, равный 2 и т.д. Для эквивалентных решений логично назначать одинаковые ранги. При оценке в порядковой шкале в табл.2.1 в качестве результатов оценивания o_ij будут выступать ранги. Каждый столбец этой таблицы будет представлять собой ранжировку решений относительно достижения соответствующей цели С_j. Возвратимся к примеру оценки предпочтительности решений по производству новых моделей изделия (табл. 2.2). Пусть эксперт производит измерение предпочтений в порядковой шкале. В этом случае результаты оценки будут иметь вид (табл.2.3):

Табл.2.3. Ранжировки решений по выпуску различных новых моделей изделия относительно выделенных целей (эксперт1).

С₁ С₂ С₃ С₄ С₅

А₁ 1 2 1 3 2

А₂ 2 1 2 2 2

А₃ 3 2 3 1 1

0,15 0,15 0,1 0,1 0,5

Как видно из табл. 2.3, только по двум целям С₁и С₃ ранжировки совпадают. Возникает проблема нахождения обобщенной ранжировки, согласованной по всем целям с учетом их весов . Если экспертов несколько, то каждому эксперту будет соответствовать своя таблица ранжировок, подобная табл.2.3.

Например, пусть оценки, представленные в табл.2.3. характеризуют мнение эксперта 1. В табл.2.4. представлены ранжировки по целям и нормированные веса целей как результаты субъективных измерений эксперта 2.

Табл.2.4. Результаты измерений предпочтений эксперта 2

С₁С₂С₃С₄С₅

А₁ 2 1 2 2 2

А₂ 1 2 1 1 1

А₃ 3 2 3 2 2

0,2 0,2 0,1 0,2 0,3

Как видно из сравнения табл.2.3 и 2.4, ранжировки решений по соответствующим целям и веса целей у экспертов 1 и 2 не совпадают. При анализе ситуации часто следует рассматривать гипотетические ситуации, характеризующие более подробные условия решения проблемы. В этой связи эксперт должен будет измерять свои предпочтения в условиях всех возможных гипотетических ситуаций, доопределяющих общую проблемную ситуацию. Например, для проблемы производства новых изделий можно выделить две гипотетических ситуации - «возможность экспорта продукции с вероятностью р» и «невозможность экспорта» с вероятностью1 – р. В общем случае сумма вероятностей всех гипотетических ситуаций должна быть равна 1.

2.3. Методы нахождений обобщенной ранжировки решений

Пусть в рассматриваемой проблеме участвуют 3 эксперта, выделены 2 ситуации, 5 целей и 3 решения. Тогда в результате экспертного оценивания будет представлено 6 таблиц ранжировок, размерностью 3х5: каждый из 3-х экспертов представит две таблицы, характеризующие его предпочтения в условиях каждой ситуации. Эти 6 таблиц содержат 30 ранжировок размерностью 3. Теперь задача сводится к определению такой обобщенной ранжировки, которая была бы согласована относительно всего множества рассматриваемых оценочных признаков: целей (критериев) с учетом их весов, экспертов с учетом весов, отражающих их компетентность, ситуаций с учетом вероятностей. В данном случае необходимо найти обобщенную ранжировку как свертку из 30 ранжировок. Существуют различные математические алгоритмы нахождения обобщенных ранжировок. Рассмотрим основные из них.

2.3.1. Принципы суммы рангов и гарантированного результата

Если не учитывать весовые коэффициенты (веса целей, вероятности ситуаций, веса экспертов), т.е. предполагать, что все оцениваемые параметры имеют одинаковые приоритеты, то можно использовать принципы суммы рангов и гарантированного результата. В первом случае в общей таблице, составленной из всех таблиц оценок, представленных экспертами, по строчкам суммируются ранги. Затем по величинам этих сумм осуществляется ранжирование решений. Самой меньшей сумме соответствует наиболее приоритетное решение, следующей по величине суме – решение, которое менее приоритетно, чем предыдущее, но более приоритетно, чем все остальные. Решения, имеющие одинаковые суммы рангов, будут эквивалентны, и иметь одинаковый ранг.

Рассмотрим таблицу ранжировок, полученную объединением ранжировок, содержащихся в табл.2.3 и2.4 (табл.2.5).

Табл.2.5. Объединенная таблица ранжировок, представленных двумя экспертами:

Сумма рангов Наибольший ранг

А₁ 1 2 1 3 2 2 1 2 2 2 18 3

А₂ 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 16 2

А₃ 3 2 3 1 1 3 2 3 2 2 22 3

Из табл.2.5 видно, что суммы рангов для А₁-18, А₂-16, А₃ - 22. Отсюда обобщенная ранжировка будет иметь вид: А₂>А₁>А₃ или, если записать ее в виде последовательности рангов, - (2 1 3).

Принцип гарантированного результата соответствует осторожной стратегии поведения. Его можно назвать критерием пессимизма. В каждой строке общей таблицы выбирается худшее предпочтение (наибольшее значение ранга). Далее среди худших оценок выбирается минимальное значение и соответствующее ему решение представляется в качестве наиболее наиболее предпочтительного. Другими словами, из максимальных по строкам таблицы рангов выбирается минимальное значение (т. е. реализуется принцип минимакса). Так, в табл. 2.5 в 1–ой строке минимальное значение ранга -3, во 2-ой – 2, в 3-ей – 3. Отсюда по принципу гарантированного результата наиболее предпочтительным будет решение А₂.обобщенная ранжировка будет иметь вид :А2 >А1 ~ А3 или (2 1 2).

2.4. Метод медианы

Под медианной ранжировкой понимается обобщенная ранжировка, которая согласуется со всеми ранжировками, полученными в результате экспертного оценивания. При этом учитывается все весовые коэффициенты и вероятности, которые фигурируют при описании проблемной ситуации. Для определения медианной ранжировки введем понятие матрицы парных сравнений.

Каждая ранжировка решений относительно некоторой цели (r(А₁), r(А₂),…r(А₃)) может быть представлена в виде матрицы парных сравнений по следующему правилу:

где r (А_i)- значение ранга решения Аi.

Например, ранжировку трех решений по цели С₂ (табл.2.3)

– (2 1 2) трансформируем по правилу (2.4) в матрицу парных сравнений. Данная ранжировка записана в виде строки:

(r (A₁) r(A₂) r(A₃)) = (2 1 2)

Сравнивая r(A₁) с рангами всех решений, получим:

r(A₁) = r(A₁), r(A₁)<r(A2), r(A_!) = r(A₃)

Отсюда x₁₁=1, x₁₂=0, x₁₃=1.

Аналогично, сравнивая r (A₂) и r(A₃), найдем:

x₂₁= 1, x₂₂ = 1, x₂₃= 1, x₃₁=1, x₃₂= 0, x₃₃= 1.

Отсюда матрица парных сравнений, соответствующая ранжировке (2 1 2), будет иметь вид:

Заметим, что на главной диагонали матрица должны всегда стоять единицы, т.к. r (А_i) = r (А_i).

Количество единиц в матрице парных сравнений можно интерпретировать как общее число голосовавших, число единиц в каждой строчке - как количество голосов, поданных за то, что наиболее предпочтительным является соответствующее решение. В данном случае всего голосов было 7, из них 2 было подано за А₁, 3 – за А₂ и 2 - за А₃.

Т.о., все ранжировки, которые рассматриваются при анализе проблемной ситуации можно рассматривать как совокупность матриц парных сравнений. Можно ввести понятие меры сходства или различия (расстояния) между ранжировками как число несовпадений элементов с одинаковыми координатами (i,j), соответствующих матриц парных сравнений.

Например, расстояние между ранжировками относительно целей С₁ и С₂ в табл.2.3 будет равно числу несовпадений элементов

матриц:

С₁С₂

, , т.е.-3.

Если число несовпадений элементов искомой медианной матрицы и матрицы, соответствующей некоторой ранжировке, умножить на нормированный весовой коэффициент этой ранжировки (например, вес цели), то получим взвешенное расстояние между этими ранжировками.

Очевидно, ранжировке, согласованной относительно всех целей, ситуаций и экспертов с учетом весовых коэффициентов, будет соответствовать некоторая средняя матрица парных сравнений. Эта матрица (ранжировка) должна удовлетворять свойству медианы, т.е. суммарное взвешенное расстояние от этой матрицы до всех рассматриваемых матриц парных сравнений (ранжировок) должно быть минимальным.

В случае, если результаты измерений были бы представлены несколькими экспертами, то весовые коэффициенты каждой матрицы парных сравнений вычислялись бы как произведение веса цели, вероятности ситуации и веса эксперта. Т.к. отдельные суммы весов целей, вероятностей ситуаций и весов экспертов равны 1, то сумма обобщенных весовых коэффициентов также будет равна 1. Условно говоря, медианная ранжировка характеризует как бы центр тяжести мнений относительно предпочтительности решений, отраженных в каждой ранжировка с учетом ее обобщенного веса. Медиана будет «ближе» к ранжировка, имеющим большие веса и «дальше» от ранжировок с меньшими весами. Можно показать, что для нахождения медианной матрицы парных сравнений необходимо реализовать определенную процедуру вычислений.

Проиллюстрируем ее на рассматриваемом примере. Пусть экспертное оценивание проводили два эксперта. Субъективные измерения 1-го эксперта в условиях 1-ой ситуации (возможность экспортных поставок) представлены в табл.2.3, а оценки в условиях 2-ой ситуации (невозможность экспортных поставок) – в табл.2.6:

Табл.2.6. Ранжировки решений и веса целей в условиях 2-ой ситуации (1-ый эксперт).

С₁С₂ С₃ С₄ С₅

Y1 2 1 3 1 1

Y2 1 2 2 2 1

Y3 3 2 1 3 2

0,1 0,1 0,3 0,2 0,3

Пусть вероятности 1-ой и 2-ой ситуаций для1-го эксперта будут соответственно 0,4 и 0,6. Для всех ранжировок построим матрицы парных сравнений (табл.2.3 и 2.6 соответственно):

Ситуация 1

С₁ С₂ С₃ С₄ С₅

, , , , ;

Ситуация 2

С₁ С₂ С₃ С₄ С₅

, , , ,

Аналогичную процедуру проведем для 2-го эксперта. Пусть его оценки предпочтений в условиях 1-ой ситуации представляются в табл.2.4, а в условиях 2-ой ситуации -в табл.2.7.

Табл.2.7. Ранжировки решений и веса целей в условиях 2-ой ситуации (2-ой эксперт)

С₁ С₂ С₃ С₄ С₅

А₁ 1 2 2 2 2

А₂ 2 1 1 2 1

А₃ 2 3 2 1 3

0,1 0,3 0,2 0,2 0,2

Для всех ранжировок, представленных соответственно в табл.2.4. и 2.7., вычислим матрицы парных сравнений:

Ситуация 1

С₁ С₂ С₃ С₄ С₅

, , , , ;

Ситуация 2

С₁ С₂ С₃ С₄ С₅

, , , , .

Пусть обе ситуации для второго эксперта равновероятны, т.е. равны 0,5.

Компетентность 1-го эксперта (вес) была оценена как 0,6, а компетентность 2-го 0.4.

Вычислим обобщенные весовые коэффициенты для каждой матрицы парных сравнений, т.е. найдем произведение соответствующих веса цели, вероятности ситуации и веса эксперта. Например, для матрицы, соответствующей дели С₁ в условиях 1-ой ситуации (оценка 1-го эксперта) коэффициент определяется как произведение: 0,15 · 0,4 · 0,6 = 0,036. Очевидно, сумма всех весовых коэффициентов, полученных таким образом, будет равна 1.

Умножим каждую матрицу на ее весовой коэффициент и сложим полученные матрицы:

0,036 · + 0,036 · + 0,024 · + 0,024 · +

0,12 · + 0,036 · + 0,036 · + 0,108 · +

0,72 · + 0,108 · + 0,04 · + 0,04 · +

0,02 · + 0,04 · + 0,06 · + 0,02 · +

0,06 · + 0,04 · + 0,04 · + 0,04 · =

= (2. 8)

Суммарная матрица преобразуется в медианную матрицу парных сравнений по следующему правилу: каждый элемент матрицы сравнивается с пороговым значением 1/2; если он больше или равен 1/2, то заменяется на 1, в противном случае - на 0.

Отсюда полученная суммарная матрица (2.8) трансформируется в медианную матрицу парных сравнений:

(2.9)

Преобразуем матрицу (2.9) в медианную ранжировку. Для этого найдем суммы элементов в каждой строке (количество единиц) и разделим их на общее количество единиц в матрице:

1-ая строка (А₁) - 2/7, 2-ая строка (А₂) – 3/7; 3-я строка (А₃) – 2/7.

Вычисленные коэффициенты можно рассматривать как удельные веса важности соответствующих решений. Последовательность весов (2/7; 3/7; 2/7) легко преобразовать в последовательность рангов, т.е. в ранжировку- (2 1 2), обладающую свойством медианы. Таким образом, наиболее предпочтительным будет решение А₂, а решение А₁и А₃ – эквивалентны (А₂> А₁ ~ А₃).

2.5. Доминируемые решения

При обработке результатов экспертного опроса следует обратить внимание на наличие доминируемых решений. Например, пусть результаты вычислений субъективных измерений задаются табл.2.8

Табл.2.8. Пример с доминруемым решением

С₁ С₂С₃

А₁ 2 3 3

А₂ 1 2 1

А₃ 2 1 1

Очевидно, решение А₁ доминируется решениями А₂ и А₃: по критерию С₁ - А₂> А₁, А₁ ~ А₃; по критерию С₂- А₂> А₁, А₃> А₁. Если какое-либо решение доминируется хотя бы по одному критерию другим решением, а по всем остальным критериям эти решения эквивалентны, то такое решение считается неэффективным. Нет смысла его рассматривать при дальнейшем анализе. В то же время решения А₂и А₃- не сравнимы между собой, т.к., например, А₂ > А₃по критерию С₁и, в то же время, А₃ > А₂ по критерию С₂. Эти решения составляют эффективное множество решений и дальнейший выбор должен осуществляться среди них. На практике начинать обработку результатов следует с выделения эффективного множества. Затем, используя различные принципы, находят обобщенные ранжировки эффективных решений. Если окажется, что какое-либо решение при всех способах вычислений имеет ранг 1, то это может служить существенным аргументом в пользу снижения риска при выборе данного решения.

Литература

1. Р. Акоф, М. Сосиени. Основы исследования операций. – М.: Мир. – 1971.

2. Евланов Л. Г. Теория и практика принятия решений. – М.; Экономика, 1984.

3. Голубков, Е. П. Технология принятия решений управленческих решений. – М.: «Дело и Сервис», 2005.

4. Сулицкий В. Н. Методы статистического анализа в управлении. – М.: Дело, 2002.

5. М. Эддоус, Р. Сэнсфилд. Методы принятия решений. – М.: ЮНИТИ, 1997.

⇐ Предыдущая 12