ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Вопросы к экзамену для студентов-механиков II курса

"ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ"

( 2015-2016 гг.)

1. Системы дифференциальных уравнений. Канонические системы и их эквивалентность системе дифференциальных уравнений первого порядка в нормальной форме Коши.

2. Условия эквивалентности одного дифференциального уравнения n–ого порядка и системы из n уравнений ДУ первого порядка. Контрпример.

3. Понятие общегоинтеграла системы ДУ n-ого порядка, её первого интеграла, и аналитический признак первогоинтеграла.

4. Линейные системы ДУ n-ого порядка. Критерии линейной зависимости систем решений.

5. Линейные системы ДУ n-ого порядка. Критерии линейной независимости систем решений.

6. Линейные системы ДУ n-ого порядка. Существование фундаментальной системы решений.

7. Общее решение однородной линейной системы ДУ n-ого порядка.

8. Общее решение неоднородной линейной системы ДУ n-ого порядка.

9. Метод вариации постоянных.

10. Формула Коши для решения неоднородной линейной системы ДУ n-ого порядка.

11. Формула Остроградского-Лиувилля для определителя Вронского однородной линейной системы ДУ n-ого порядка.

12. Линейные системы ДУ п-ого порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение, случай различных действительных и мнимых корней характеристического многочлена.

13. Линейные системы ДУ п-ого порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение: случай кратных комплексных корней характеристического многочлена.

14. Линейные системы ДУ п-ого порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение: случай кратных действительных корней характеристического многочлена.

15. Методы интегрирования нелинейной системы ДУ n-ого порядка. Первые интегралы системы: определения и аналитический признак. Симметрическая форма системы ДУ первого порядка.

16. Автономная нормальная система ДУ и её фазовое пространство. Свойства фазовых траекторий автономной системы ДУ.

17. Векторное поле и его особые точки. Положения равновесия линейной нормальной автономной системы. Аналитический вид общего решения и фазовый портрет линейной однородной системы двух ДУ с постоянными коэффициентами (типа узел, седло).

18. Векторное поле и его особые точки. Положения равновесия линейной нормальной автономной системы. Аналитический вид общего решения и фазовый портрет линейной однородной системы двух ДУ с постоянными коэффициентами (типа фокус, центр).

19. Векторное поле и его особые точки. Положения равновесия линейной нормальной автономной системы. Аналитический вид общего решения и фазовый портрет линейной однородной системы двух ДУ с постоянными коэффициентами (типа дикритический узел, стационарные решения).

20. Теорема Коши, доказательство существования решения, метод последовательных приближений.

21. Теорема Коши, доказательство единственности решения.

22. Непрерывная зависимость решений ДУ от параметров в правой части.=

23. Непрерывная зависимость решений ДУ от начальных данных.

24. ДУ в частных производных первого порядка. Общее решение линейного уравнения в частных производных первого порядка.

25. ДУ в частных производных первого порядка. Краевая задача Коши. Характеристическая система ОДУ и метод характеристик Коши.

26. ДУ в частных производных первого порядка. Теорема Якоби о первых интегралах системы ОДУ с помощью полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби

12 Следующая ⇒