Задача1.. Задача 2.. Задача 3.

Задача1.

В правильной треугольной призме АВСА ₁В ₁С₁ все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми АВ и В ₁С.

Решение

1) Введем систему координат как на рисунке.

2)Координаты (

3) = = .

Ответ: = .

Задача 2.

В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямой АС и плоскостью АSД.

Решение

1) Введем систему координат как на рисунке.

Координаты ( -1; 1; 0).Найдем координаты вектора нормали ( х; у; z) к плоскости АSД. Для этого выберем в плоскости АSД два непараллельных вектора .

Координаты векторов

* и

х - у - =0,

х =0, при z =1, х= у =0.И так ,

АSД)) = = =

Задача 3.

В кубе АВСДА1В1С1Д1 точки Е и F – середины ребер соответственно А1В1 и А1Д1. Найдите косинус угла между плоскостями АЕF и ВДД1.

Решение

. Плоскость ВДД₁ – это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости, поэтому – это вектор нормали к плоскости ВДД_1.

А ( 0; 0; 0;), С(1; 1; 0) , тогда = ₁ ( 1; 1; 0).

2) Найдем вектор нормали ₂(х; у; z) к плоскости АЕF. Выберем в этой плоскости два непараллельных вектора и

3) Определим координаты векторов: А(0; 0; 0) , Е ( ½; 0; 1), F (0; ½; 1).

(1/2; 0; 1), ( 0; ½; 1).

4) Запишем скалярные произведения ₂* и ₂ * и приравняем их нулю

1/2х + 0у + z = 0, z = - 1/2х,

0х + ½ у + z = 0; z = - 1/2у, при х = у =1, z = - ½.

И так, вектор нормали ₂( 1; 1 ; - ½)

5) Найдем косинус угла между ₁ и _2.

_|Cοs(АЕF,^ ВДД₁) |= |cοs ( ₁,^ ₂)| =| = .

Ответ: cοsϕ =

Задача 4: Доказать, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых содержит диагональ куба, а другая — диагональ грани куба, равен .

Решение: изобразим прямоугольную координатную плоскость так, чтобы координатные оси совпадали с рёбрами куба.

Обозначим буквами вершины куба, через которые проходят данные скрещивающиеся прямые. Найдём угол между прямыми .

Пусть длина единичных отрезков на осях равна длине ребра куба.

Тогда в такой системе координат нетрудно найти координаты точек О, О1, О2 и О3.

А теперь найдём координаты векторов ОО1 и О2О3, которые являются направляющими для данных прямых.

Вектор . А вектор .

Найдём косинус угла между данными прямыми, подставив в формулу координаты направляющих векторов.

В ходе вычислений получаем, что

А значит, угол между прямыми .

Что и требовалось доказать.