Тема лекции: тригонометрические функции. Их свойства и графики.

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Тема лекции: тригонометрические функции. Их свойства и графики.

1. Функция y = sin x, ее свойства и график

Используя построенный график, приведем основные свойства функции у = sin х:

1. Область определения D(y) = (-∞; +∞).

2. Функция нечетная (т. е. у(-x) = -e(x))> и ее график симметричен относительно начала координат.

3. Функция возрастает на отрезках вида и убывает на отрезках вида где k ∈ Z.

4. Функция ограничена, т. е. -1 ≤ у(х) ≤ 1.

5. Наименьшее значение функции yнаим = -1 (достигается в точках вида ) и наибольшее значение унаиб = 1 (достигается в точках вида ).

6. Функция непрерывная.7. Область значений Е(у) = [-1; 1].

8. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом Т = 2п, т. е. у(х + 2пk) = y(x).

2. Функция у = cos x, ее свойства и график

Перечислим основные свойства функции у = cos x:

1. Область определения D(y) = (-∞; +∞).

2. Функция четная (т. е. y(-х) = y(х)), и ее график симметричен относительно оси ординат.

3. Функция возрастает на отрезках вида [-π + 2πk; 2πk] и убывает на отрезках вида [2πk; π + 2πk], где k ∈ Z.

4. Функция ограничена, т. е. -1 ≤ y(х) ≤ 1.

5. Наименьшее значение функции у = -1 (достигается в точках вида х = π + 2пk) и наибольшее значение у = 1 (достигается в точках вида х = 2пk).

6. Функция непрерывная.7. Область значений Е(у) = [-1; 1].

8. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом Т= 2п, т. е. у(х + 2пk) = у(х).

Пример

Найдем область определения и область значений функции:

а) Для данной функции х может принимать любые значения, поэтому D(y) = R. Теперь найдем область значений функции. Так как -1 ≤ sin|x| ≤ 1, то умножим все члены этого неравенства на 3 и получим - 3 ≤ 3sin|x| ≤ 3 или -3 ≤ у ≤ 3, т. е. Е(у) = [-3; 3].

б) Аргумент данной функции существует при условии х2 - 2х ≥ 0. Решение этого неравенства х ∈ (-∞; 0]U[2; ∞), что и является областью определения функции у(х). Итак, D(y) = (-∞; 0]U[2; ∞). При изменении х в этих пределах величина меняется от 0 до ∞. Поэтому -1 ≤ cos z ≤ 1, тогда 2 ≥ -2cos z ≥ -2, или или -2 ≤ у ≤ 2, т. е. Е(у) = [-2; 2].

в) Аргумент этой функции существует при условии х ≠ 0 и D(y) = (-∞; 0)U(0; ∞). При изменении х в таких пределах величина z = 1/x изменяется в промежутках (-∞; 0)U(0; ∞). Тогда Поэтому Е(у) = [-5; 5].

12 Следующая ⇒