Лекция №6

Лекция №6

Пусть у нас есть кривая , где S – натуральный параметр. В точке P построим соприкасающуюся плоскость, нормаль которой совпадает с бинормалью. В точке Q строим соприкасающуюся плоскость, с нормалью . Совершаем параллельный перенос вектора в точку P, угол между и обозначим .

Абсолютным кручением|æ| кривой в точке P называется .

Теорема. В каждой точке регулярной кривой (хотя бы трижды непрерывно дифференцируемой), где определено значение абсолютного кручения. И если - уравнение данной кривой, то или .

Доказательство

1) Докажем первую формулу:

Получаем: .

2) Докажем вторую формулу:

т.к. (по лемме).

Из перпендикулярности следует, что . Продифференцируем это равенство:

Поэтому (модуль æ равен модулю скалярного произведения, где ).

Нормируем вектор :

;

Ч.т.д.

Геометрический смысл модуля кручения:

Степень отклонения кривой от плоскости в каждой точки кривой.

Для винтовой линии кручение является константой.

Кручению присваивается знак «+», если при перемещении по кривой в сторону возрастания параметра S поворот соприкасающейся плоскости происходит от к и знак «–», если – от к .

Утверждение. Если кручение в каждой точке кривой равно нулю, то кривая является плоской.

Доказательство

Получаем: .

Уравнение плоской кривой в векторном виде:

- переменный вектор;

- радиус – вектор точки Р кривой γ;

- вектор бинормали. Ч.т.д.

Пусть кривая задана с помощью произвольной параметризации:

Возводим обе части равенства в квадрат, получим:

;

Формула для вычисления кручения при произвольной параметризации:

Пример:

Найти кривизну и кручение винтовой линии.

- длина вектора .

- не зависит от параметра t, отсюда кривизна винтовой линии величина постоянная.

æ - также не зависит от параметра t.

В каждой точке хотя бы бирегулярной кривой можно построить трёхгранник Френе.

Выбираем направление единичных векторов , так чтобы они образовывали правую тройку – базис.

Формулы Френе показывают разложение векторов в базисе векторов .

- это есть кривизна.

- первая формула Френе.

Продифференцируем, получим:

- третья формула Френе.

- вторая формула Френе.

Если рассматривать трёхгранник Френе в виде твердого тела, которое совершает вращение вокруг точки, то вектор мгновенной угловой скорости

. Этот вектор лежит в спрямляющей плоскости, где æ, k – это проекции данного вектора на вектора

соответственно.

Выберем систему координат, совместив начало системы координат с точкой Р, а оси координат направим по ребрам трёхгранника Френе и выпишем систему, определяющую данную кривую в окрестности данной точки Р.

Тогда мы можем записать в параметрическом виде:

- параметрическое задание кривой, параметр .

Спроектируем полученную кривую на плоскости трехгранника Френе:

1) Соприкасающаяся плоскость

Парабола.

2) Нормальная плоскость

Полукубическая парабола.

3) Спрямляющая плоскость

Кубическая парабола.

При и .

Коэффициенты разложения функции в ряд по степеням выражаются только через кривизну и кручения кривой. Это дает основание полагать, что кривизна и кручения в какой-то мере определяют кривую.

Теорема. Пусть - две некоторые регулярные функции, причем , тогда существует кривая в пространстве, единственная с точностью до расположения в пространстве, для которой и являются кривизной и кручением соответственно в точке, соответствующей значению параметра S.

Доказательство

Пусть такая кривая существует, тогда - единичные векторы касательной нормали и бинормали, должны удовлетворять системе дифференциальных уравнений:

(1)

В силу формул Френе.

Разыскивая кривую с и , естественно обратиться к системе дифференциальных уравнений (1).

Пусть решение системы (1) существует и удовлетворяет начальным условиям:

Причем - три взамноперпендикулярных единичных вектора: - это правая тройка векторов.

Нужно доказать, что обладают теми же свойствами для любых S, т.е. они единичные, взаимноперпендикулярные и образуют правую тройку векторов.

Для этого продифференцируем 6 скалярных функций:

Этой системе удовлетворяет набор констант: 1, 1, 1, 0, 0, 0. И набор функций: . Оба эти решения совпадают при S=S₀, по теореме о единственности решения, функции, выписанные таким образом, совпадают с константами для любых S. Эти функции единичные и взаимноперпендикулярные, поэтому , по непрерывности смешанного произведения, значение этой функции всегда равно +1.

Следовательно, кривую , можем искать в виде:

;

Проверим, что S – натуральный параметр:

Подсчитаем кривизну и кручение.

Если параметр натуральный, то кривизну кривой можно найти по формуле: .

Если параметр естественный, то кручение считаем по формуле: .

;

Таким образом, кривая имеет в соответственной точке кривизну и кручение .

Существование кривой доказано.

Докажем единственность.

Пусть существуют две кривые и имеющие в соответственной точке кривизну и кручение . Совместим эти кривые точками, соответствующими дуге S₀, естественными трёхгранниками в этих точках.

Эти два набора являются решениями системы (1), в точке S=S₀ эти векторы совпадают, поэтому они совпадают для любых S.

Получаем: .

Проинтегрировав это равенство, получим: кривые совпадают с точностью до положения в пространстве.

Ч.т.д.

Система таких уравнений называется натуральным уравнением кривой.

1. k=0 – прямые.

2. - плоские кривые.

Плоские кривые, у которых , но разные знаки, будут зеркально симметричными.

Движением на плоскости эти кривые совместить нельзя, а в пространстве можно.

Этот случай рассматривают как частный случай пространственных кривых.

3. - окружность. .

4. - винтовые линии.

5. - линии откоса.

6. - линии Бертрана.

Примеры:

I. Найти натуральные уравнения.

1). Перейти к натуральной параметризации:

;

2). Находим кривизну для естественной параметризации:

3). Кривая плоская, поэтому .

Получаем:

II. Покажем, что она является винтовой линией:

1). Перейдем к натуральной параметризации:

;

2). Находим кривизну:

;

Получаем: - винтовая линия.

По основной теореме теории кривых, эта система определяет только винтовую линию.

Кривая

называется линией откоса, если вектор ее касательной образует постоянный угол с некоторым определенным направлением.

Представим, что постоянное направление совпадает с вертикалью. Если - вертикаль (по определению линии откоса) и - постоянный угол, то кривизна подъема по кривой остается постоянной.

- в силу первой формулы Френе.

параллельна горизонтальной плоскости.

В спрямляющей плоскости лежат вектора .

образует с постоянный угол по определению линии откоса,

образует с постоянный угол .

; где - постоянный вектор.

Показали, что - необходимое условие.

Покажем, что оно же и достаточное условие:

Пусть вдоль кривой .

Запишем вектор .

Из представления вектора видно, что этот вектор однозначно связан с векторами и , по длине это постоянный вектор. Остается показать, что - постоянный вектор и при другом задании кривой он не изменится. Для этого продифференцируем:

, он удовлетворяет определению данной кривой и образует постоянный угол с .

Получаем: , т.е. показано, что если для некоторой кривой выполнено условие , то данная кривая является линией откоса.

Кривая линия

называется линией Бертрана, если существует

, отличная от

и имеющая с кривой

общие главные нормали.

Пусть , тогда , где а – это фактически длина отрезка заключенная между точками соответствующих кривых.

Продифференцируем это равенство:

Домножим обе части скалярно на вектор . Получим:

0=0+0+1 .

Главное свойство:

Расстояние между соответствующими точками кривых Бертрана есть постоянная величина.

Вектора лежат в соприкасающейся плоскости.

Получим:

- линейная комбинация скалярных функций k и равна единице. Это уравнение является необходимым условием для линий Бертрана. Покажем, что оно является и достаточным условием.

, где - угол между соответствующими векторами касательных к кривым и , но и - величина постоянная.

Здесь определяется соответствие между трехгранниками Френе во всех точках кривых Бертрана.

Если .

Рассмотрим случай - это косые окружности и их рассматривают как частный случай кривых Бертрана.

Пример 1:

Найти уравнение плоской кривой, имеющей натуральные уравнения.

где .

Пример 2:

Кривая задана Точка (0;0;0).

Найти кривизну кривой в точке.

Параметризуем: пусть х – параметр, а .

;

Лекция №7

Лемма. Пусть - аналитическая кривая. О – точка кривой . При соответствующем выборе системы координат в окрестности точки О кривую можно параметризовать таким образом, что ее уравнение будет иметь вид:

(1)

Теорема. Пусть аналитическая кривая задана уравнениями вида (1). Для того, чтобы точка О была особой, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы одно из не делилось на .

Теорема. Пусть кривая задана уравнениями в окрестности т.О:

точка О будет особой точкой, если порядок первых отличных от нуля производных функций x(t) и y(t) в точке О такие, что, не делиться на ( < ), причем, если и - четные, то точка О – точка возврата II -го рода, а если - четное, а - нечетное, то точка О – точка возврата I-го рода.

Если - нечетное, а - четное, то в окрестности этой точки кривая ведет себя как обычная кривая.

Если и - нечетные, то точка является точкой перегиба.

Пример:

Определить вид особых точек:

;

Трактриса.

;

Точка - точка возврата I-го рода.

Кривая задана неявно.

(так определяются особые точки)

, где

Выпишем уравнение:

(*) =0 (оно определяет особые точки II-го порядка)

; (1)

; (2)

; (3)

При условии (1) уравнение (*) действительных корней не имеет. Данная точка будет изолированной особой точкой.

При условии (2) – дает два различных действительных корня:

Случай (2) также дает узловую точку или точку самопересечения.

Условие (3) дает два действительных одинаковых корня:

А)

- точка возврата I-го рода.

Б)

- точка возврата II-го рода.

В)

- точка самоприкосновения.

Пример:

1. Исследовать особые точки кривой:

;

нашей кривой;

;

1) Если b>0, то точка особая изолированная.

2) Если b<0, то точка узловая.

3) Если b=0, то это либо точка возврата I-го или II-го рода, либо точка самовозврата.

2. Исследовать особые точки кривой:

;

нашей кривой;

;

узловая

Если в особых точках все вторые производные функции равны нулю, то рассматриваются третьи производные и такие точки называются особыми точками третьего порядка.

Пусть

Говорят, что кривая уходит на бесконечность при , если выполняется условие .

В этом случае рассматривается вопрос о существовании асимптот.

Прямая g называется асимптотойкривой , уходящей на бесконечность при , если выполнено условие

;

; - уравнение g.

I. Пусть .

Учитываем условие, что ищем наклонные асимптоты:

Тогда асимптота имеет вид:

y=kx+b.

Вертикальные асимптоты, параллельны оси Oy, имеют вид:

II. Пусть . Проделывая все аналогии, получаем:

y=kx+b.

Пример:

1). Находим точки, в которых кривая уходит на бесконечность:

2). ;

;

Тогда уравнение асимптоты к кривой имеет вид:

у=4х-19;

;

Ответ: у=4х-19;

Пусть кривая γ задана неявно: . Касательную ищем в виде:

(*) где u – параметр, γ – алгебраическая кривая.

- точка прямой g.

- координаты направляющего вектора прямой.

Уравнение нашей кривой: .

Подставим (х,у) из (*) в предыдущее уравнение, получим:

1) из условия находим и .

2) условие дает уравнение самой асимптоты.

Пример:

;

1. Вместо х подставляем , а вместо у - .

Для первой точки:

Для второй точки:

Пример:

Асимптоту еще называют предельным положением касательной.

Пусть элементарные кривые

имеют общую точку Р. Возьмем на

точку Q сколь угодно близкую к Р.

; h – расстояние от точки Q до кривой

Кривая имеет соприкосновение n-го порядка с кривой в точке Р, если .

Теорема. Пусть кривая : , а кривая : причем и - регулярные кривые. Для того, чтобы кривые и имели соприкосновение n-го порядка в точке Р необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

Без доказательства.

Пример:

Найти параболу вида:

(*)

имеющую с кривой соприкосновение n-го порядка, в т. х=0.

1. Параметризуем кривую:

х – параметр.

2. Подставляем данную точку в уравнение (*):

(**)

3. Дифференцируем (**) по х:

Ответ: искомая парабола .

Окружность, имеющая с кривой соприкосновение второго порядка, называется соприкасающейся окружностьюданной кривой. А центр такой окружности называется центром кривизныданной кривой.

Пример:

Найти уравнение соприкасающейся окружности для в начале координат.

;

Параметризуем данную кривую:

Тогда наша функция примет вид:

; (*)

;

Продифференцируем уравнение (*) по t:

(**)

;

Продифференцируем уравнение (**) по t:

;

= .

Пусть - множество регулярных кривых зависящих от .

Гладкая кривая называется огибающейоднопараметрического семейства , если в каждой точке она касается хотя бы одной кривой и каждым своим куском касается бесконечного числа кривых множества .

Всякая регулярная кривая является огибающей семейства своих касательных.

Теорема. Пусть задана уравнением , причем мы предполагаем, что - непрерывно дифференцируемая функция по каждой переменной и выполнено условие , тогда огибающую данного семейства (если она существует) можно записать в виде:

В том смысле, что в каждой точке с координатами (х,у) огибающей ставится в соответствие значение параметра : набор удовлетворяет первому и второму уравнению данной системы.

Пример:

⇐ Предыдущая 12