Лекция №5

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Лекция №1: Понятие кривой. Способы задания кривых...…2

Лекция №2: Вектор-функция скалярного аргумента….……6

Лекция №3: Регулярность кривой. Касательная к кривой...10

Лекция №4: Соприкасающаяся плоскость. Длина дуги

кривой. Естественная параметризация...….....17

Лекция №5: Сопровождающий трехгранник Френе.

Кривизна кривой……………………………....25

Лекция №6: Кручение кривой. Формулы Френе..………...31

Лекция №7: Плоские кривые………………….……………50

1. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия / А.В. Погорелов. – М.: Наука, 1974. – 366 с.

2. Новиков С.П. Элементы дифференциальной геометрии и топологии / С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. – М.: Наука, 1987. – 268 с.

3. Аминов Ю.А. Дифференциальная геометрия и топология кривых / Ю.А. Аминов. – М.: Наука, 1987. – 288 с.

4. Постников М.М. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия / М.М. Постников. – М.: Наука, 1979. – 196 с.

5. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии / П.К. Рашевский. – 5-е изд., испр..- М.: Издательство ЛКИ, 2008. - 432 с.

6. Борисенко О. А. Диференціальна геометрія і топологія: навч. посібник / О. А. Борисенко. - Харьків : Основа, 1995. - 304 с.

Лекция №1

Понятие кривой является одним из основных в дифференциальной геометрии. Первоначально этому понятию не давалось точного математического определения.

Евклид в своих «Началах» называет кривую длиной без ширины или границей поверхности.

Декарт определяет кривую, как геометрическое место точек на плоскости, координаты каждой из которых удовлетворяет уравнению вида F(x,y)=0.

Жордан дал определение кривой: множество точек пространства, координаты которых являются непрерывными функциями

Пеано в 1890 году построил такую кривуюс помощью непрерывного отображения отрезка , которая является целым квадратом на плоскости.

В физике под кривой понимают траекторию движения материальной точки.

Элементарная кривая– это топологический образ открытого отрезка. Отображение f называется топологическим (гомеоморфным), если оно взаимнооднозначно, непрерывно и обратное ему отображение также непрерывно.

Примеры элементарных кривых: прямая, графики элементарных функций.

Кривая называется простой, если множество её точек – связное множество, и каждая точка этой кривой имеет окрестность такую, что та часть окрестности, которая принадлежит , представляет собой элементарную кривую (окружность, эллипс и т.д.).

Топологический образ простой кривой в пространстве называется общей кривой. Кривая, все точки которой принадлежат некоторой плоскости, называется плоской кривой.

Параметрический:

2. Векторный:

3. Неявный:

Частный случай – явный: y=y(x).

Примеры:

1. y=kx+b;

k=tg .

2. ;

3. ;

4. Ах+Ву+С=0 – общее уравнение прямой,

- нормаль прямой;

5. - каноническое уравнение прямой;

- направляющий вектор прямой;

6. - параметрическое уравнение прямой;

7. - окружность;

параметризуем:

8. - эллипс (это центрально симметрическая кривая);

9. - гипербола (это центрально симметрическая кривая);

10. - парабола (это не центральная кривая).

Пример:

Написать уравнение движения точки, лежащей на окружности радиуса R, которая катится без проскальзывания с постоянной скоростью v по некоторой прямой.

Решение

Выбираем систему координат.

1. - параметрический способ задания;

2. - векторный способ задания;

3. - неявный способ, в виде пересечения двух

поверхностей.

Пример:

Написать уравнение траектории движения материальной точки, проекция которой на плоскости хОу движется по окружности с постоянной угловой скоростью w, а проекция на ось Oz движется поступально с постоянной скоростью b.

Решение

Пусть точка M(x,y,z) является точкой заданной кривой

Лекция №2

Пусть D некоторое множество, если для определен вектор , то говорят, что на области D задана вектор – функция. D= .

Вектор , если .

Свойства:

Пусть , тогда

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Доказательство 4:

Ч.т.д.

непрерывна в точке , если .

Если - непрерывны в некоторой точке, то и - непрерывны.

называется дифференцируемой в точке х, если и - производная векторной функции в точке х.

Пусть у нас есть некоторый базис в (базис – максимально линейно независимая система векторов данного пространства) . Пусть дана некоторая вектор – функция в этом пространстве.

Теорема. Пусть - непрерывна или дифференцируема на некотором множестве D, тогда координатные функции являются также непрерывными или дифференцируемы на этом множестве. Верно и обратное утверждение.

Доказательство

Доказательство обратного утверждения очевидно, т.к. - всегда либо непрерывны, либо дифференцируемы, а сумма непрерывных либо дифференцируемых функций является непрерывной либо дифференцируемой соответственно.

Доказательство прямого утверждения: выберем ,

Дифференцируема Дифференцируема

Аналогично доказывается для .

Ч.т.д.

Пусть - дифференцируемые вектор – функции, а - дифференцируемая скалярная функция, тогда:

Примеры:

1. ;

Лемма. Для того, чтобы , необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство

Пусть .

(по условию).

;

Продифференцируем обе части:

, следовательно .

В обратную сторону. Если , то .

Ч.т.д.

∆х)= ∆х+ ;

Выводится с помощью разложения вектор – функции по базису.

Пусть f(x) – непрерывна на , тогда:

1. .

Пусть – некоторый постоянный вектор,

2. ;

3. ;

4. .

Лекция №3

1. Параметрическое задание кривой:

эту кривую мы будем называть регулярной, если

выполнены два условия:

1) ,

2) .

Если и выполняется второе условие регулярности, то кривая называется гладкой.

2. Векторный способ задания:

эта кривая называется регулярной, если выполнены следующие два условия:

1) ,

3. Кривая задана в виде пересечения двух поверхностей:

кривая регулярная, если:

1) , - регулярные функции переменных x, y, z,

2) .

Точки, где нарушено хотя бы одно условие регулярности, называются особые точки кривой.

1. Кривая задана параметрически:

кривая называется регулярной, если

1) .

2) .

2. Неявное задание кривой:

кривая называется регулярной, если

1) регулярная функция переменных х и у,

2) .

3. Для векторного задания определение регулярности аналогично пространственному.

Регулярность кривой зависит от выбора параметризации этой кривой. Очень часто для кривой удобно вместо параметра t ввести новый параметр . Другими словами, «пробежаться» по кривой другим способом, точнее в другой шкале времени. Естественно предполагать, что связь между параметрами «гладкая», т.е. функции и непрерывно дифференцируемы до некоторого порядка. Обычно предполагают, что . Это означает, что при такой замене параметра сохраняется направление движения по кривой. Такие замены параметра называют регулярными.

Говорят, что уравнение получено заменой параметра на кривой . Разумеется, при этом нужно указать область изменения параметра .

Регулярная замена параметра не нарушает свойства регулярности кривой, так как

Замена параметра на кривой означает изменение криволинейной координаты на кривой. Иногда это приводит к упрощению исследования кривой, в частности её построения.

Касательной к кривой в точке является предельное положение секущих . Векторы являются направляющими векторами этих секущихся. Поэтому вектор является направляющим вектором «предельной секущийся», т.е. касательной.

Проведем через точку P прямую g.

Прямая g называется касательной к кривой в точке Р, если .

Теорема. В каждой точке гладкая кривая имеет касательную, причем единственную. И если - уравнение кривой, то касательная параллельна вектору в точке Р, соответствующей параметра t.

Доказательство

Пусть g - касательная ||g. Пусть - направляющий вектор прямой g.

;

, т.к., по условию теоремы, кривая гладкая || .

Докажем, что если прямая g|| , то g – касательная.

Теорема доказана.

Запишем уравнение касательной:

Касательная – это предельное положение секущей.

Если , то выполняет роль касательного вектора в точке Р кривая .

Векторное задание:

Каноническое задание:

Пример:

Написать уравнение касательной для винтовой линии в т.Р.

Р(1;0;0)

Находим значение параметра, соответствующего координатам т.Р, из последнего уравнения получаем t=0. Находим координаты :

- уравнение касательной к точке Р(1,0,0).

Параметризуем уравнения, считая х, у, z – функции параметра t.

Продифференцируем уравнения системы по t:

|| .

Уравнение будет иметь вид:

Пример:

т.Р(0;0;1).

(0;1;0) – вектор является касательным для

искомой прямой в т.Р.

- уравнение касательной.

1. Кривая задана параметрически:

Уравнение касательной: .

2. Неявное задание кривой:

Уравнение касательной:

3. Кривая задана явно:

y=y(x).

Уравнение касательной:

Лекция №4

Плоскость будем называть соприкасающейся с кривой в точке Р, если .

Теорема. В каждой точке хотя бы дважды регулярной кривой существует соприкасающаяся плоскость. И если - уравнение кривой , то и будут параллельны соприкасающейся плоскости в точке Р, соответствующей параметру t.

Доказательство

Докажем, что , || , если плоскость соприкасается с кривой в точке Р.

Теперь воспользуемся определением соприкасающейся плоскости

Разложим в ряд Тейлора по степеням в окрестности т.Р.

;

Т.к. по условию теоремы кривая дважды регулярна, то , || ,

|| .

Т.о., если соприкасающаяся плоскость существует, то и параллельны ей.

Докажем существование соприкасающейся плоскости. Пусть плоскость || и , тогда ,

Т.о. в каждой точке регулярной кривой существует соприкасающаяся плоскость.

Если рассматривать кривую, для которой нарушены условия бирегулярности, но она является гладкой кривой, то соприкасающиеся плоскости существуют и их бесконечно много, т.е. это любая плоскость содержащая касательную.

Теорема доказана.

|| ,

- переменный радиус вектор, описывающий точки данной плоскости.

- фиксированное значение вектор – функции в точке Р.

Пример:

Написать уравнение соприкасающейся плоскости для простой винтовой линии в точке Р(1;0;0).

Р(1;0;0).

Определим значение параметра t.

t=0.

Дифференцируем:

Составить уравнение плоскости через точку Р перпендикулярно вектору .

0(x-1)-1(y-0)+1(z-0)=0,

y-z=0 – уравнение соприкасающейся плоскости.

Пусть - некоторая элементарная кривая. Впишем в ломанную .

Пусть топологический образ некоторого отрезка прямой g.

Ломанная называется правильно вписаннойв , если порядок прообразов её вершин на прямой g совпадает с порядком вершин на .

Свойство ломанной быть правильно вписанной в не зависит от гомеоморфизма f.

Кривая называется спрямляемойв окрестности точки, если эта точка имеет такую окрестность, что все ломанные, правильно вписанные в неё, равномерно ограничены по длине.

Кривая называется спрямляемой, если она спрямляема в окрестности каждой точки.

Длиной дуги кривой называется верхняя грань длин правильно вписанных в неё звеньев ломанных.

Рассмотрим в параметризации вида простой кусок или элементарную кривую.

;

Для вычисления разобьем промежуток на части (n – частей).

Периметр ломаной обозначим: .

S – длина простого куска.

Будем считать, что , из рисунка - .

Напишем ряд Тейлора:

. (*)

В точке проведем - вектор касательной.

Введем .

Покажем, что .

Применим формулу (*), получим

, тогда правая часть , это означает, что и для длины простого куска имеет место следующая формула:

В скалярном виде: если

Регулярная замена переменных .

, где ,

, т.к. .

- длина дуги кривой .

Функция строго монотонна, можно принять за параметр.

- естественная параметризация.

- нормированный вектор.

Если кривая задана с помощью естественной параметризации, то .

- дифференцируем по естественному параметру.

Пример:

Для простой винтовой линии перейти от произвольной к естественной параметризации.

;

S является натуральным параметром.

Проверка:

Лекция №5

Из множества нормалей (прямые касательным) выберем две: I – лежит в соприкасающейся плоскости – главная нормаль кривой, II – перпендикулярна соприкасающейся плоскости – бинормальная.

Если (хотя бы бирегулярная кривая), то в каждой точке кривой можно построить ортонормированный базис.

- единичный вектор касательной;

- единичный вектор главной нормали;

- единичный вектор бинормали.

На трех векторах , , строится трёхгранник, рёбрами которого являются прямые проходящие через точку Р и параллельны векторам , , соответственно, а гранями – 3 плоскости:

и - соприкасающаяся плоскость;

и - нормальная плоскость;

и - спрямляющая плоскость.

|| ; .

|| .

- кривая задана естественной параметризацией.

(по лемме, т.к. ).

параллельна соприкасающейся плоскости.

|| .

Пример:

Написать уравнение элементов трёхгранника Френе для винтовой линии.

Р(1;0;0), t=0.

1. Проверяем, является ли t естественным параметром.

, t – произвольный параметр.

2. || .

;

|| (0;-1;1);

||[ ]=(2;0;0)||(1;0;0).

3. Напишем уравнение касательной:

;

4. - бинормаль;

5. - главная нормаль;

6. Напишем уравнение соприкасающейся плоскости:

0(x-1)-1(y-0)+1(z-1)=0;

y-z=0;

7. Напишем уравнение нормальной плоскости:

0(x-1)+1(y-0)+1(z-1)=0;

y+z=0;

8. Напишем уравнение спрямляющей плоскости:

1(x-1)+0(y-0)+0(z-0)=0; x-1=0.

Кривизной кривой в точке Р называется , где - длина дуги , заключенная между точками P и Ө.

k показывает степень отклонения кривой от прямой.

Физический смысл: модуль скорости изменения вектора при движении по , т.е. модуль вектора ускорения при естественной параметризации.

Теорема. В каждой точке регулярной кривой (хотя бы дважды непрерывно дифференцируемой) определена кривизна кривой. И если - естественная параметризация, то в точке Р, соответствующей параметру S.