Теорема 5. Если события А и В образуют полную группу событий, то сумма вероятностей этих событий равна единице.

Пример:

Консультационный пункт института получает пакеты с контрольными работами из городов А, В, С. Вероятность получения пакета из города А-0,7, В-0,2. Найдите вероятность того, что пакет из города С.

Событие образуют полную группу, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице:

Теорема 6. Для противоположных событий сумма вероятностей равна единице.

Пример:

Вероятность того, что день будет дождливым 0,7. Найдите верность того, что день будет ясным.

События являются противоположными, поэтому:

Задачи

1. Вероятность того, что взятая наугад деталь из некоторой партии деталей, будет бракованной равна 0,2. Найти вероятность того, что из трех взятых деталей 2 окажется не бракованными.

2. Из полной колоды карт (52 шт). Одновременно вынимают 4 карты. Найти вероятность того, что среди этих 4 карт хотя бы одна будет бубновая или одна червовая карта.

A-появление хотя бы одной бубновой карты.

В- появление хотя бы одной червовой карты.

События А и В - совместны, т.е. появление одного из mixне исключает появление другого. В колоде по 13 карт каждой масти.

–вероятность того, что при вытаскивании первой карты не появится ни бубновой, ни червовой;

–вероятность того, что при вытаскивании второй карты не появится ни бубновой, ни червовой;

–вероятность того, что при вытаскивании третьей карты не появится ни бубновой, ни червовой;

–вероятность того, что при вытаскивании четвертой карты не появится ни бубновой, ни червовой;

– вероятность того, что среди четырех вытянутых карт нет ни бубновой, ни червовой.

3. – вероятность того, что среди 4 карт хотя бы одна будет бубновая или одна червовая карта.

4. Слово "МАТЕМАТИКА" разделено на отдельные буквы, из них произвольным образом отбираются и выкладываются по порядку четыре. Какова вероятность получения слова «МАМА»?

5. Сколько нужно бросить игральных костей, чтобы с вероятностью, меньше 0,4, можно было ожидать, что ни на одной из выпавших граней не появится 6 очков?

А — ни на одной из граней нет 6 очков

А_i — на i-ой грани нет 6 очков

P (A_i) =5/6- вероятность того, что на любой выпавшей грани появилось число очков не равное

6. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Известно, что вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна 0,25. Такая же вероятность события «К вечеру во втором автомате закончится кофе». Вероятность того, что кофе к вечеру закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к вечеру дня кофе останется в обоих автоматах.

Рассмотрим события

А = кофе закончится в первом автомате,

В = кофе закончится во втором автомате.

Тогда

A·B = кофе закончится в обоих автоматах,

A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.

По условию P(A) = P(B) = 0,25; P(A·B) = 0,15.

События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,25 + 0,25 − 0,15 = 0,35.

Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,35 = 0,65.

7. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98? В ответе укажите наименьшее необходимое количество выстрелов.

Найдем вероятность противоположного события, состоящего в том, что цель не будет уничтожена за n выстрелов. Вероятность промахнуться при первом выстреле равна 0,6, а при каждом следующем — 0,4. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятности этих событий. Поэтому вероятность промахнуться при n выстрелах равна:

Осталось найти наименьшее натуральное решение неравенства

Последовательно проверяя значения, равные 1, 2, 3 и т. д. находим, что искомым решением является Следовательно, необходимо сделать 5 выстрелов.

8. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: 0,05 · 0,05 = 0,0025.

Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один автомат, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,0025 = 0,9975.

9. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.

Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

В силу независимости событий, вероятность успешно сдать экзамены на лингвистику: 0,6 · 0,8 · 0,7 = 0,336, вероятность успешно сдать экзамены на коммерцию: 0,6 · 0,8 · 0,5 = 0,24, вероятность успешно сдать экзамены и на «Лингвистику», и на «Коммерцию»: 0,6 · 0,8 · 0,7 · 0,5 = 0,168. Успешная сдача экзаменов на «Лингвистику» и на «Коммерцию» — события совместные, поэтому вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения. Тем самым, поступить хотя бы на одну из этих специальностей абитуриент может с вероятностью 0,336 + 0,24 − 0,168 = 0,408.

3.2. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Вероятность события А, которое может произойти вместе с одним из событий Н₁,Н₂,...,Н_п равна сумме парных произведений вероятностей каждого их этих событий на соответствующие им условные вероятности наступления собыфтия А.

Вероятность гипотезы после испытания ровна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условию вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на вероятность этого события.

Пример: На заводе, изготовляющим болты, первая машина производит 25% продукции, втором – 35%, третья – 40%. В их продукции брак составляет 5%,4%, 2% соответственно:

а)Какова вероятность, что случайно выбранный болт бракованный?

б) Случайно выбранный болт оказывается бракованным.

Какова вероятность, что он был произведен первой, второй и третьей машиной?

H₁ – болт был изготовлен 1-ой машиной

H₂ – 2ой

H₃ – 3ей

Задачи

1. В магазин поступили эл лампочки одного типа, изготовленные на 4-х ламповых заводах: С 1-го завода 250 шт.; с 2-го завода 525 шт.; с 3-го завода 275 шт.; с 4-го завода 950 шт. Вероятность того, что лампочка прогорит> 1500 часов для 1-го – 0,15; 2-го – 0,3; 3-го – 0,2; 4-го – 0,1. При раскладке по полкам магазина лампочки были перемешены: а) Какова вероятность того, что лампочка прогорит более 1500 часов; б)Что эта лампочка будет с 1-го завода.

А – лампочка прогорит >1500 ч

H₁ – лампочка изготовлена 1-ым заводом

H₂ –2-ым

H₃ –3-им

H₄ –4-ым

2. В водоеме обитают три вида хищных рыб: судаки, щуки и окуни в соотношении 1:2:4. Для поимки хищной рыбы на некоторое время выставляется живцовая снасть. Оказавшийся в поле зрения хищника живец бывает им схвачен с вероятностью 0,4 – для судака, 0,3 – для щуки, 0,2 – для окуня, а) Какова вероятность захвата живца хищником за время ловли, если вероятность обнаружения живцом судака, щукой или окунем пропорциональна их численности? б) К какому виду вероятнее всего принадлежит рыба, схватившая снасть?

3. Число грузовых машин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин как 5:2. Вероятность того, что проезжающая грузовая машина будет заправляться топливом равна 0,02, для легковой эта вероятность = 0,05. Найти вероятность событий:

а) Случайным образом проезжающая машина будет заправляться горючем;

б) Подъехавшая на заправку машина – грузовая.

A – случайная машина будет заправляться.

4. На склад поступило 1000 подшипников. Из них 200 изготовлены на 1-м заводе, 460 – на 2-м и 340 – на 3-м. Вероятность того, что подшипник окажется нестандартным, для 1-го завода равна 0,03, для 2-го – 0,02, для 3-го – 0,01. Взятый наудачу подшипник оказался нестандартным. Какова вероятность того, что он изготовлен 1-м заводом?

А – взятый подшипник бракованный.

5. Из пяти стрелков двое попадают в цель с вероятностью 0,6, и трое с вероятностью 0,4.

а)Что вероятнее: попадет наугад выбранный стрелок пли нет?

б) Наудачу выбранный стрелок попал в цель. Что вероятнее: принадлежит он к первым 2-м или к последним З-м?

6. В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны один шар переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью. Найдите вероятность того, что шар, извлеченный из 3-ей урны окажется белым.

⇐ Предыдущая 12