Практическое занятие № 22. Тема: Решение прикладных задач на составление дифференциальных уравнений.. Ход работы. Методические рекомендации по решению задач

Практическое занятие № 22

Тема: Решение прикладных задач на составление дифференциальных уравнений.

Цель занятия: закрепить знание определения дифференциального уравнения, определение общего и частного решений дифференциальных уравнений, их геометрической интерпретации. Закрепить умение составлять, дифференциальные уравнения на простейших задачах.

Ход работы

1. Методические рекомендации по решению задач

Изучите алгоритм решения задач на составление дифференциальных уравнений.

А) Из перечисленных величин выделяют функцию и аргумент устанавливают физический смысл функции и ее производной. Затем, используя известные сведения из физики, механики, электротехники и других дисциплин, выражают зависимость, между функцией, ее производной и аргументом, т.е. составляют дифференциальное уравнение.

Б) Определяют, к какому типу относятся составленное уравнение и находят его общее решение.

В) Если в задаче даны начальные условия, то получают частное решение уравнения.

2. Рассмотреть примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.

Пример 1. Найти уравнение линии, проходящей через точку М(1;3) и имеющей касательную угловой коэффициент которой или ; ; Найдём общее решение:

Подставим начальные условия :

3=1-3*1+с ;

с=5 ;

Следовательно, частное решение имеет вид :

;

Найденному частному решению соответствует парабола, проходящая через точку М(1;3) и пересекающая ось ОУ в точке с координатами (0;5).

Пример 2. Скорость размножение некоторых бактерий пропорциональна количеству в рассматриваемый момент времени t.Количество бактерий утратилось в течение 5ч. Найти зависимость количества бактерий от времени.

Обозначим количество бактерий в момент времени t через m(t) ,а в начальный момент через тогда cкорость их размножения. Получим уравнение:

;

Найдем частное решение, подставляя начальные условия. Найдем из условия :

;

Пример 3.Ускорение прямолинейно движущийся материальной точки в зависимости от времени выражается формулой: а=6t-2. Найти закон движения, если в начальный момент времени t=0 скорость U=1м/c,а путь S=0.

Закон движения точки выражается функцией S(t), тогда – скорость точки, – ускорение движения.