Границы и грани числовых множеств.Существование точной верхней и точной нижней граней числовых множеств.

БИЛЕТ 4

Границы и грани числовых множеств.Существование точной верхней и точной нижней граней числовых множеств.

Бесконечно малые функции при 𝑥→𝑎 (различные формулировки),геометрический смысл,примеры бесконечно малых функций при 𝑥→𝑎. Теорема о свойствах бесконечно малых функций при 𝑥→𝑎.

1. Бесконечно малые функции

Определение (1). Функция 𝛼(𝑥) называется бесконечно малой при 𝑥→𝑎 (БМФ), если ∀𝜀>0 ∃𝛿>0: ∀𝑥, 0<|𝑥−𝑎|<𝛿, |𝛼(𝑥)|<𝜀.

Определение предела функции через окрестность (2)

Функция 𝛼(𝑥) является бесконечно малой при 𝑥 → 𝑎 тогда и только тогда, когда ∀𝜀>0 ∃𝛿>0, что как только x попадает в выколотую дельта-окрестность точки 𝑎, соответствующее значение функции попадает в -окрестность числа ноль.

2.Примеры бесконечно малых функций

Функция 𝑦=𝑥² является бесконечно малой при 𝑥→0, но не является бесконечно малой при 𝑥→1. В самом деле, , а .

Функция f(x)=(x-1)² является бесконечно малой при x→1, так как (см. рис.).
Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x→0.
f(x) = ln (1+x)– бесконечно малая при x→0.
f(x) = 1/x– бесконечно малая при x→∞.

3.Геометрический смысл

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

4. Теорема о свойствах бесконечно малых функций при 𝑥→𝑎. (БМФ)

1. Сумма любого конечного числа БМФ есть БМФ.

Доказательство. Достаточно доказать это свойство для двух функций. Итак, пусть – БМФ при 𝑥→a. Тогда для любого и . Рассмотрим выражение , где . А это означает, по Коши, что .

12 Следующая ⇒