Игры-шутки. Часть 3. Хитрые.. Задача 1.. Решение.

№ 3. Игры-шутки. Часть 3. Хитрые.

Иногда в задаче нет ни слова об игре, но сути это не меняет.

Условие можно и поменять, а какая-то постоянная величина в роли инварианта остается. В следующей задаче инвариант – четность,

Задача 1.

Есть 13 серых и 15 бурых хамелеонов. Если встречаются 2 хамелеона, они одновременно меняют свой цвет на противоположный. Могут ли все хамелеоны стать одного цвета?

Решение.

У нас есть 3 варианта. Могут встретится С+С; Б+Б; С+Б

Было серых	Было бурых	Встретились	Стало серых	Стало бурых
		С+С
		С+Б
		С+С
		Б+Б

Продолжать можно долго. Но если посмотреть на все числа, мы увидим, что они нечётные. А нам нужно добиться того, чтобы все 28 хамелеонов стали одного цвета. Но это четное число. Не получится.

Задача 2.

Даня получил «двойку» за контрольную и страшно рассердился. Он порвал листочек с контрольной на 4 части. Затем стал брать маленькие кусочки и рвать каждый из них на 4 части.

Данин брат Паша нашёл на столе 20 обрывков. Верно ли, что какой-то обрывок (может не один) свалился на пол?

Решение.

Здесь тоже не говорится об игре. Но условие можно переделать. Например, Даня и Паша рвали бумагу…

Давайте посмотрим, что получается.

Было частей	Действие	Стало частей
	Берёт лист и рвёт на 4 части
	Берёт 1 часть и рвёт на 4 части	4-1+4 = 7
	Берёт 1 часть и рвёт на 4 части	7-1+4 = 10
	Берёт 1 часть и рвёт на 4 части	10 -1+4= 13
	Берёт 1 часть и рвёт на 4 части	13-1+4 = 16

Что мы видим? Каждый раз Даня забирает одну часть, поэтому -1. Затем он эту часть рвёт на 4, поэтому +4. Получается, что к своему листку Даня добавляет каждый раз 3 части.

Значит число обрывков минус один лист (который был изначально) должно делиться на 3.

А 20-1=19. На 3 делиться не будет. И 20 не будет. А вот 21 будет.

Получается, что минимум 2 обрывка упали на пол и Паша их не нашёл.

Инвариант – делимость на 3 (с учётом единицы).

12 Следующая ⇒