Послесловие

Послесловие

Задача замощения плоскости одинаковыми фигурками без пробелов и наложений известна с древних времен. Один из ее частных случаев — вопрос о том, какими могут быть паркеты (то есть замощения плоскости правильными многоугольниками, причем не обязательно одинаковыми) и, в частности, правильные паркеты. Правильный паркет обладает таким свойством: при помощи параллельных переносов (сдвигов без вращений), которые переводят паркет в себя, можно совместить заранее выбранный узел с любым другим узлом паркета. На рис. 1 из условия изображены как раз правильные паркеты.

Не слишком сложно доказать, что существует всего 11 различных типов правильных паркетов (см. List of uniform tilings). Доказывается это примерно так же, как мы в условии задачи доказывали, что есть всего три типа паркета из одинаковых правильных многоугольников — градусные меры углов каждого правильного многоугольника известны, нужно лишь подобрать их так, чтобы в сумме получалось 360°, а это делается просто небольшим перебором вариантов. Существует много древних мозаик, в основу которых положены эти паркеты.

Рис. 7. Оставшиеся 8 типов правильных паркетов. Изображение с сайта en.wikipedia.org

Мозаики из глины, камня и стекла (и паркеты из дерева и кафеля) — наиболее известное и понятное применение данной теории в жизни. Многие из нас могут убедиться в этом, зайдя к себе на кухню или в ванную. Будущие дизайнеры специально изучают математические паркеты, ведь они и их вариации часто используются в архитектуре и декоре.

Рис. 8. Геологические образования на мысе Столбчатом (остров Кунашир, большая гряда Курильских островов)

Замощения встречаются и в природе. Кроме всем известных пчелиных сот наиболее яркие примеры — это геологические образования на мысе Столбчатом (остров Кунашир, большая гряда Курильских островов) и «Дорога гигантов» в Северной Ирландии.

Рис. 9. «Дорога гигантов» (Северная Ирландия). Фото с сайта ru.wikipedia.org

Обобщение нашей задачи — замощение пространства — современный важный раздел кристаллографии, играющий важную роль в интегральной оптике и физике лазеров.

Как ни странно, до относительно недавних времен были известны только периодические замощения (которые полностью совмещаются с собой при некотором сдвиге и его повторениях). Однако в 1974 году английский ученыйРоджер Пенроуз придумал непериодические мозаики, которые теперь называют в его честь мозаиками Пенроуза. Позднее (в 1984 году) подобные непериодические структуры были открыты в квазикристаллах.

Рис. 10. Слева: Роджер Пенроуз стоит на мозаике Пенроуза. Справа: пример мозаики Пенроуза. Изображения с сайта en.wikipedia.org

На странице Penrose Tilings можно найти много примеров мозаик Пенроуза с подробным описанием всех тонкостей их получения.

Рис. 11. М. К. Эшер, «Рептилии», 1946 (слева) и «Бабочки», 1950

Паркеты и мозаики встречаются и в изобразительном искусстве. Пожалуй, наиболее известны работы голландца М. К. Эшера (M. C. Escher).

⇐ Предыдущая 1 23