Практическая работа №6.. Тема: «Приложение интеграла к решению физических и геометрических задач». Теоретическая часть.. Формула Ньютона – Лейбница

Практическая работа №6.

Тема: «Приложение интеграла к решению физических и геометрических задач»

Цель: закрепить умения вычислять определѐнные интегралы разными методами,

применять определѐнные интегралы при решении задач физики и геометрии.

Теоретическая часть.

Формула Ньютона – Лейбница

Если функция непрерывна на отрезке [a;b] и функция у = F(x) является некоторой ее первообразной на этом отрезке, то имеет место формула Ньютона – Лейбница

Вычисление площади плоской фигуры

Найдем площадь S криволинейной трапеции, ограниченной кривой осью и двумя прямыми и , где , (рис. 1)

Так дифференциал переменной площади S есть площадь прямоугольника с основанием dx и высотой , т. е. , то, интегрируя это равенство в пределах от a до b, получим

(1)

Если криволинейная трапеция прилегает к оси так, что , (рис. 2), то дифференциал переменной площади S равен откуда

(2)

В том случае, когда криволинейная трапеция, ограниченная кривой , осью и прямыми x=a и x=b, лежит под осью (рис. 3), площадь находится по формуле

(3)

Если фигура, ограниченная кривой , осью и прямыми x=a и x=b, расположена по обе стороны от оси (рис. 4), то

(4)

Пусть, наконец, фигура S ограничена двумя пересекающимися кривыми и и прямыми x=a и x=b, где и (рис. 5). Тогда ее площадь находится по формуле

(5)

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , .

Решение. Находим точки пересечения заданных линий.

Для этого решаем систему уравнений:

Для нахождения абсцисс точек пересечения заданных линий решаем уравнение: или .

Находим: x₁ = – 2, x₂ = 4. Итак, данные линии, представляющие собой параболу и прямую, пересекаются в точках A(-2; 0), B(4; 6).

Эти линии образуют замкнутую фигуру, площадь которой вычисляем по указанной выше формуле:

По формуле Ньютона-Лейбница находим:

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Решение. Найдем точки пересечения линий , , приравнивая ординаты линий: или . Находим корни x₁ = – 1 , x₂ = 3 и соответствующие им ординаты y₁ = 2, y₂ = – 2.

По формуле площади фигуры получаем

12 Следующая ⇒