Главная

Контакты

Случайная статья

• Автоматизация
• Антропология
• Археология
• Архитектура
• Биология
• Ботаника
• Бухгалтерия
• Военная наука
• Генетика
• География
• Геология
• Демография
• Деревообработка
• Журналистика
• Зоология
• Изобретательство
• Информатика
• Искусство
• История
• Кинематография
• Компьютеризация
• Косметика
• Кулинария
• Культура
• Лексикология
• Лингвистика
• Литература
• Логика
• Маркетинг
• Математика
• Материаловедение
• Медицина
• Менеджмент
• Металлургия
• Метрология
• Механика
• Музыка
• Науковедение
• Образование
• Охрана Труда
• Педагогика
• Полиграфия
• Политология
• Право
• Предпринимательство
• Приборостроение
• Программирование
• Производство
• Промышленность
• Психология
• Радиосвязь
• Религия
• Риторика
• Социология
• Спорт
• Стандартизация
• Статистика
• Строительство
• Технологии
• Торговля
• Транспорт
• Фармакология
• Физика
• Физиология
• Философия
• Финансы
• Химия
• Хозяйство
• Черчение
• Экология
• Экономика
• Электроника
• Электротехника
• Энергетика

Рассмотрим основные способы решения показательных уравнений на примерах.

Рассмотрим основные способы решения показательных уравнений на примерах.

Способ 1. Приведение обеих частей уравнения

к общему основанию

Примеры:

1. 9^x =

3^2x = 3^-3;

x = - .

Ответ: х =- .

2.

;

;

x = 3

Ответ: x = 3.

3.

 ;

х= Ответ: х=

4. ( )^x ∙ ( )^x =

По свойству степени: ( ^x = ;

( ^x = ( )³ ;

х= 3.

Ответ: х = 3.

5.    = ( )^4-5x

 = ( )^-4+5x;

x² = -4 + 5x;

x² - 5x + 4 = 0;

x₁ =4; x₂ =1.

Ответ: x₁ = 4; x₂ = 1.

Способ 2. Вынесение общего множителя за скобку

Примеры:

1. 6x+1 + 356x-1 = 71

6^x-1(6²+35) = 71;

6^x-1  = 1;

6^x-1 = 6⁰;

x = 1.

     Ответ: x = 1.

2. 7∙  -

∙(7-5) =

 ∙ 2 =

 =

 = ; = -3.

Ответ: x = -3.

3. 2x + 5 ∙ 2x+1 + 7 ∙ 2x+2 = 312

Вынося в левой части уравнения за скобки общий множитель 2^x, получим:

2^x ∙ (1+5 ∙ 2¹+7 ∙ 2²) = 312;

2^x ∙ 39 = 312;

2^x = 8;

2^x = 2³;

х = 3.

Ответ: х = 3.

4. 3x - 2 ∙ 3x-2 = 63

3^x-2 ∙ (3²-2) = 63;

3^x-2 ∙ 7 = 63;

3^x-2 = 9;

3^x-2 = 3²;

x-2 = 2;

x = 4.

Ответ: x = 4.

5. +

Наименьшим показателем степени является х-1; поэтому вынесем за скобки :

( +

( +

х - 1= 1;

х = 2.

Ответ: x = 2.

Способ 3. Приведение показательного уравнения

к квадратному уравнению

1. 72x - 8 ∙ 7x + 7 = 0

Данное уравнение имеет вид Aa^{2 x}+ Ba^x + C = 0.

Пусть  = у, тогда 7^2x = у² и для определения y получим квадратное уравнение: y² - 8y + 7 = 0;

y₁ = 7;    y₂ = 1.

Осуществляя обратную подстановку, получим два уравнения, из которых получим два корня исходного уравнения:

1) 7^x = 7; 7^x = 7¹; x = 1;

2) 7^x = 1; 7^x = 7⁰; x = 0;

Ответ: x₁ = 1; x₂ = 0.

2. 5∙52x - 6 ∙ 5x + 1 = 0

Пусть:  = у, тогда получим квадратное уравнение вида

5у² - 6у + 1у = 0:

D=16; у₁=  , у₂= 1.

Осуществляем обратную подстановку:

так как  у₁ = , то  = , х = -1;

          у₂ = 1, то  = 1 , х = 0;

Ответ: x₁ = -1; x₂ =0.

3. 22+x - 22-x = 15;

2² ∙ 2^x - 2² ∙ 2^-x = 15;

Получили уравнение вида Aa^x + Ba^-x + C = 0.

Используя подстановку 2^x = y и 2^-x , переходим к уравнению 4y -  = 15 или 4y² - 15y - 4 = 0.

Находим корни уравнения: y₁ = 4;   y₂ = - .

Осуществляем обратную подстановку:

1) 2^x = 4; 2^x = 2²; x = 2;

2) 2^x = -   - корней нет, так как 2^x>0, x R.

Ответ: x = 2.

4. 4^x + 6^x = 2 ∙ 3^2x

2^2x + 2^x ∙ 3^x - 2 ∙ 3^2x = 0.

Разделим обе части последнего уравнения почленно на 3^2x:

получим уравнение  +  -2 = 0.

Преобразуя, в соответствии со свойством степеней, получим квадратное уравнение вида ( )^2x + ( )^x - 2 = 0.

Пусть ( )^x = y  и ( )^2x = y²;

решая квадратное уравнение y²+y - 2 = 0, найдем его корни y₁ = 1; y₂ = -2.

Осуществляем обратную подстановку и находим корни исходного уравнения:

1) ( )^x = 1; ( )^x = ( )⁰; x = 0.

2) ( )^x = -2 – корней нет.

Ответ: x = 0

5. = 0.

Первый член уравнения можно представить в виде

.

Тогда исходное уравнение принимает вид

– = 0;

Обозначим:  = с, тогда

с₁ = 3,    с₂ = 1.

Второй корень смысла не имеет, так как показательная функция всегда положительна.

Итак,

Ответ: x = 1.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

1. Представленный материал изучить, рассмотреть решения всех типовых примеров и внести весь изученный материал в конспект по математике.

2. Уметь ответить на контрольные вопросы.

3. Решить представленные ниже три показательных уравнения с пояснением способа решения.

КОНТРЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Перечислите свойства показательной функции. 2. Через какую точку проходят графики всех показательных функций вида y=ax? 3. Какое уравнение называется показательным? 4. Сформулируйте правило решения простейших показательных уравнений. 5. При каких bпоказательное уравнение a x= b имеет корень? 6. Сколько корней имеет уравнение ax=b? 7. Как решать уравнение вида af(x)=ag(x)?     Решите уравнения: ü  .   ü  .     ü =0.