ПОСТРОЕНИЕ ПЛАНА УСКОРЕНИЙ МЕХАНИЗМА

§ 6. ПОСТРОЕНИЕ ПЛАНА УСКОРЕНИЙ МЕХАНИЗМА

План ускорений построим для механизма (рис. 2), находящегося в положении O₁A₁B₁O₂D₁E₁.

Располагая всеми необходимыми данными для вычисления величины ускорения точки A кривошипа при его вращении вокруг точки O₁, построение плана ускорений начнем с нанесения ускорений этой точки. При равномерном вращении кривошипа O₁A (w₁ = const) точка А будет обладать только нормальным ускорением. Если кривошип будет вращаться неравномерно (w₁ ¹ const), то законы изменения угловой скорости w₁ и углового ускорения e₁ должны быть заданы. В этом случае точка А кривошипа O₁A, кроме нормального ускорения, будет обладать и касательным ускорением t_A = O₁Ae₁. В нашем примере будем считать w₁ = const и e₁ = 0. Численное значение ускорения точки А определим по формуле

W_A = n_A = O₁Aw , (17)

где O₁A — длина кривошипа, в м;

w₁ — угловая скорость вращения кривошипа, в рад сек. Направлено это ускорение, по радиусу вращения О₁А₁ от точки А₁ к центру вращения, т. е. к точке О₁.

Рис. 5. План ускорений для первого положения механизма, изображенного на рис. 2

Вычисленное нормальное ускорение точки А изобразим на плане ускорений отрезком произвольной длины, который отложим от полюса w так, чтобы он был параллелен положению кривошипа О₁А₁ и имел направление от точки А₁ к точке О₁ (рис. 7).

Отрезок является масштабным значением величины ускорения точки. Величина масштаба плана ускорения найдется из равенства

= , (18)

в котором отрезок должен быть выражен в миллиметрах. Ускорение точки В механизма найдем на основании следующих соображений. Абсолютное движение точки В есть вращательное движение вокруг неподвижного шарнира О₂, которое в общем случае совершается с переменной угловой скоростью w₃, т. е. в этом движении точка В будет обладать как нормальным n_BO₂, так и касательным ускорением t_BO₂. Следовательно, для точки В можем написать уравнение

= + (19)

где W_B — вектор полного ускорения точки В в абсолютном движении.

Имея план скоростей для первого положения (рис. 3), можем вычислить n_BO₂ по формуле

n_BO₂ = , (20)

где V_B — скорость точки В в ее вращательном движении вокруг O₂, в м/сек;

ВО₂ —длина коромысла, в м.

Пользуясь масштабными значениями скорости V_B и коромысла ВО₂, можно выражение (20) представить в виде

n_BO₂ = . (21)

Вычисленное нормальное ускорение точки В должно быть отложено на плане ускорений в виде отрезка в миллиметрах. Величину этого отрезка найдем как частное от деления ускорения n_BO₂, выраженного в м/сек, на величину масштаба плана ускорений, т. е

= = . (22)

Таким образом, чтобы определить масштабное значение нормального ускорения точки в данном ее движении, необходимо взять с плана скоростей соответствующий отрезок ее линейной скорости в данном движении, измеренный в миллиметрах, возвести его в квадрат и поделить на масштабное значение радиуса вращения, взятое тоже в миллиметрах. Частное от деления этих двух величин необходимо умножить на коэффициент

К = . (23)

Определив величину отрезка n_BO₂ по формуле (22), нанесем его на план ускорений в виде отрезка , отложив его от полюса w так, чтобы он был параллелен коромыслу ВО₂ в первом его положении и имел направление, совпадающее с направлением нормального ускорения n_BO₂, на схеме механизма, т. е. был бы направлен от точки В₁ к точке О₂ (рис. 5).

Касательное ускорение t_BO₂ неизвестно по величине, так как неизвестно угловое ускорение e₃ коромысла BO₂, при его вращении вокруг точки O₂, но известна его линия действия. t_BO₂ направлено по касательной к траектории движения точки или, что все равно, перпендикулярно радиусу вращения, т. е. в данном случае оно будет перпендикулярно положению B₁O₂ коромысла. На этом основании через конец отрезка на плане ускорений проведем линию действия t_BO₂ ^ положению В₁O₂ коромысла, или, что то же самое, перпендикулярную отрезку нормального ускорения (рис. 5).

С другой стороны, движение точки В можно рассматривать как составное, складывающееся из переносного поступательного движения звена АВ вместе с полюсом А и относительного поворота его вокруг полюса. В этом случае, как известно из теоретической механики,

= +

или в наших обозначениях

= + . (24)

В общем случае поворот звена АВ вокруг полюса А совершается с переменной угловой скоростью w₂, т. е. ускорение W_BA будет складываться из нормального n_BA и касательного t_BA ускорений, т. е.

= + . (25)

Следовательно, уравнение (24) примет окончательный вид

= + + . (26)

Первое слагаемое правой части уравнения, т. е. ускорение W_A, нанесено на плане ускорений в виде . Величину второго слагаемого n_BA находим с помощью плана скоростей по уравнению

n_BA = (27)

или, пользуясь масштабными значениями скорости V_BA и длины шатуна АВ, по аналогии с равенством (22), можем сразу определить величину масштабного значения этого ускорения как отрезка

= (28)

где — отрезок относительной скорости точки В в ее движении вокруг полюса А, взятый с плана скоростей, в мм;

—значение длины шатуна АВ, взятое со схемы механизма, в мм.

Определив величину нормального ускорения n_BA, наносим его в виде отрезка на план ускорений, откладывая от точки а так, чтобы он был || стороне А₁В₁ звена 2 и имел направление от точки В₁ к точке А₁.

Третье слагаемое правой части уравнения (26), т. е. касательное ускорение t_BA точки В, при ее повороте вокруг полюса, по величине нам неизвестно, но линия действия его известна; в данном случае она ^ положению стороны АВ ê ADB. На этом основании через конец на плане ускорения проведем линию действия t_BA, ^ отрезку нормального ускорения. Точка пересечения линий действия t_BO₂ и t_BA (точка b на плане ускорений) определяет величины и масштабных значений этих ускорений и одновременно масштабное значение полного ускорения точки В в виде отрезка , который является геометрической суммой ускорения n_BO₂ и t_BO₂, в соответствии с уравнением (19), и одновременно геометрической суммой ускорений W_A, n_BA и t_BA, в соответствии с уравнением (26).

Значение ускорения W_B может быть найдено по выражению

W_B = . (29)

Величины t_BA и t_BO₂ найдем из уравнений

t_BA = , (30)

t_BO2 = bк_w (31)

Оба касательные ускорения направлены к точке b плана ускорений (рис. 5). Сложив геометрически и найдем , являющийся масштабным значением W_BA, которое определим из равенства

W_BA = к_w (32)

Перейдем к определению ускорения шарнирной точки D звена 2. Рассматривая абсолютное движение точки D как составное, складывающееся из переносного поступательного движения звена 2 вместе с полюсом А и относительного поворота его вокруг полюса, можем написать для точки D уравнение

. (33)

Принимая за полюс точку В и рассматривая абсолютное движение точки D как .составное, складывающееся из переносного поступательного движения звена 2 вместе с полюсом В и относительного поворота его вокруг полюса, можем написать для точки D второе уравнение

. (34)

В соответствии, с уравнением (33) от точки а на плане ускорений отложим отрезок нормального ускорения n_DA, величину которого найдем из равенства

. (35)

где — отрезок относительной скорости точки D в ее движении вокруг полюса А, взятый с плана скоростей, в мм;

DA — значение длины стороны AD ê ADB, взятое со схемы механизма, в мм;

К= .

Направление должно совпадать с направлением нормального ускорения n_DA на схеме механизма, т. е. этот отрезок должен иметь направление от точки D к точке А—параллельно стороне D₁А₁ звена 2. Через конец отрезка an_da проведем линию действия третьего слагаемого уравнения (33), т. е. линию действия касательного ускорения t_DA, перпендикулярную к отрезку нормального ускорения.

В соответствии с уравнением (34) от точки b на плане ускорений отложим отрезок нормального ускорения n_DB, величину которого найдем из равенства

, (36)

где — отрезок относительной скорости точки D в ее движении вокруг полюса В, взятый с плана скоростей, в мм;

— значение длины стороны DB треугольника, взятое со схемы механизма, в мм.

Направление отрезка должно совпадать с направлением ускорения n_DB на схеме механизма, т. е. этот отрезок должен иметь направление от точки D₁ к точке В₁ — параллельно стороне D₁B₁. Через конец проведем линию действия третьего слагаемого уравнения (34), т. е. линию действия касательного ускорения t_DB, перпендикулярную отрезку нормального ускорения.

Точка пересечения линий действия t_DA и t_DB (точка d на плане ускорений) определяет величины и масштабных значений этих ускорений и одновременно масштабное значение величины полного ускорения точки D в виде отрезка , который является геометрической суммой W_A, n_DA и t_DA, в соответствии с уравнением (33), и одновременно геометрической суммой W_B, n_DB и t_DB в соответствии с уравнением (34). Значение ускорения W_D может быть найдено из выражения

W_D = (37)

Сложив геометрически n_DA и t_DA, найдем отрезок , являющийся масштабным значением W_DA, определяемым из равенства

W_DA = (38)

Точно так же, сложив геометрически n_DB и t_DB, найдем отрезок , являющийся масштабным значением W_DB, величину которого вычислим из равенства

W_DB = . (39)

а величины t_DA и t_DB — из выражений

t_DA = (40)

t_DB = (41)

Оба касательные ускорения направлены к точке d плана ускорений (рис. 5).

Построение плана ускорений для данного положения механизма закончим определением ускорения точки Е, абсолютное движение которой есть прямолинейное движение по линии х—х. Движение точки Е можно рассматривать как составное, складывающееся из переносного поступательного движения шатуна DE вместе с полюсом D и относительного поворота его вокруг полюса. В этом случае для точки Е можно написать уравнение

(42)

Первое слагаемое правой части уравнения, т. е. ускорение W_D имеется на плане ускорений в виде отрезка . Величину второго слагаемого n_ED найдем с помощью плана скоростей по уравнению

, (43)

где — отрезок относительной скорости точки E в ее движении вокруг полюса D, взятый с плана скоростей, в мм;

— значение длины шатуна DE, взятое со схемы механизма, в мм.

Отложим n_ED в виде отрезка от точки d плана ускорений параллельно положению D₁E₁ звена 4 (рис.2) так, чтобы он имел направление, совпадающее с направлением ускорения n_ED т. е. от точки E₁ к точке D₁. Величина третьего слагаемого правой части уравнения (42) нам неизвестна, но известна его линия действия. Вектор касательного ускорения t_ED ^ вектору нормального ускорения n_ED, т. е. ^ к положению D₁E₁ шатуна 4. На этом основании через конец проводим линию действия t_ED ^ . Через полюс w плана ускорений проводим линию действия ускорения W_E параллельную линии х—х на схеме механизма (рис. 2). Точка пересечения линий действия касательного t_ED и полного ускорений точки Е (точка е на плане ускорений) определяет величины и этих ускорений. Значения ускорений найдем из выражений

t_ED = (44)

W_E = (45)

Отрезок , как геометрическая сумма слагаемых W_D, n_ED и t_ED, имеет направление от полюса w к точке е. t_ED, как третье слагаемое уравнения (42), направлено к точке е плана ускорений.

Совершенно аналогично строятся планы ускорений для других его семи положений (см. приложение 1). Имея план линейных ускорений точек механизма, можно найти угловые ускорения звеньев в данном положении механизма. Так, например, если требуется определить угловое ускорение e₂ звена 2 в его относительном вращательном движении вокруг полюса А, то для этого достаточно поделить значение t_BA на величину радиуса вращения, т. е. на длину стороны АВ ê ADB, и тогда

e₂ = (46)

или, пользуясь масштабными значениями.

e₂ = (47)

Найденное ускорение e₂ является не только относительным угловым ускорением, но и абсолютным, ввиду того что в переносном движении звена 2 вместе с полюсом А его w_пер = 0 и e_пер = 0.

Чтобы установить направление углового ускорения e₂, следует приложить вектор t_ВА к точке В на схеме механизма в данном его положении. Угловое ускорение будет направлено в ту же сторону, в какую t_ВА стремится вращать звено 2 вокруг полюса А. В данном случае (в первом положении механизма) e₂ направлено по часовой стрелке.

Для определения величины углового ускорения e₃ коромысла BO₂ при его повороте вокруг шарнира О₂ совершенно аналогично можем написать выражение

e₃ = (48)

Перенеся вектор t_BO₂ в точку В на схеме механизма, видим, что он стремится поворачивать коромысло ВО₂ против часовой стрелки. Следовательно, и угловое ускорение e₃ направлено против часовой стрелки.

Соответственно угловое ускорение e₄ шатуна DE в его относительном движении вокруг точки D вычислим по выражению

e₄ = (49)

Как видно из плана ускорений, e₄ направлено против часовой стрелки.

⇐ Предыдущая 12