Решение задач на перпендикулярность прямой и плоскости

Решение задач на перпендикулярность прямой и плоскости

Краткие теоретические сведения

Определение
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

1-ое свойство перпендикулярных прямой и плоскости.
Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

2-ое свойство перпендикулярных прямой и плоскости.
Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

Пример решения задачи по теме.

Через точки P и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикулярные плоскости α и пересекающие ее соответственно в точках P₁ и Q₁.

Найдите P₁Q₁, если PQ = 15см., РР₁= 21,5 см., QQ₁= 33,5 см.

Дано: см

см

Найти:

Решение:

Две прямые РР₁ и QQ₁ перпендикулярны к одной и той же плоскости α. Значит, прямые РР₁ и QQ₁ параллельны. Значит, через них проходит единственная плоскость PQQ₁P₁. Прямая РР₁перпендикулярная плоскости α, а значит и прямой Р₁Q₁. Так как прямые РР₁ и QQ₁ параллельны, а угол РР₁Q₁ прямой, то четырехугольник РР₁Q₁Q - прямоугольная трапеция.

Проведем прямую РА перпендикулярно прямой QQ₁.Отрезки РА и P₁Q₁ равны.

Отрезок Q₁A равен отрезку РР₁. Найдем QA: QA = QQ₁ - АQ₁ = QQ₁ - РР₁ = 33,5 - 21,5 = 12 см.

Рассмотрим треугольник АРQ. Он прямоугольный, так как угол QАР прямой. Найдем катет РА.

см.

P₁Q₁= РА = 9 см.

Ответ: 9 см.

12 Следующая ⇒