Числовые ряды. Лекция 1. Необходимое условие сходимости ряда. Если , то (при любых ). Если сгруппировать слагаемые в сходящемся ряде, то полученный ряд тоже будет сходится. В общем случае от перестановки слагаемых сумма ряда может измениться. Ряды с неотр

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Числовые ряды. Лекция 1

I. Наводящие рассуждения

1) Площадь квадрата.Рассмотрим квадрат со стороной 1 и будем разбивать его на части.При этом:

II. Основные определения

Определение Числовым рядом (рядом)называется выражение вида

при этом: – общий член ряда; – частичная сумма ряда.

Если существует и конечен , то говорят, что ряд сходится и его сумма равна S, иначе – ряд расходится.

Таким образом, для того, чтобы выяснить, сходится ряд или расходится, нужно:

1) «Оборвать» его на n-ом слагаемом (т.е. получить частичную сумму S_n)

2) Вычислить предел

Примеры:

Необходимое условие сходимости ряда

Если , то

Примеры:

Обратное утверждение неверно! Т.е. существуют расходящиеся ряды, у которых .

Пример: - расходится и при этом

Свойства сходящихся рядов

1) Если , то (при любых )

2) Если сгруппировать слагаемые в сходящемся ряде, то полученный ряд тоже будет сходится

3) В общем случае от перестановки слагаемых сумма ряда может измениться

Пример:

III. Признаки сходимости рядов

Ряды с неотрицательными членами

(1) Критерий сходимости ряда с неотрицательными членами:

Доказательство:

(2) Признаки сравнения

. Тогда: (1) Если - сходится, то сходится; (2) Если - расходится, то расходится . В этом случае ряды ведут себя одинаково (сходятся или расходятся одновременно)

Пример: - расходится по признаку сравнения

Пусть:

12 Следующая ⇒