Задачи на нахождение неизвестной величины по двум разностям

Ц = Ст. : К

Аналогично рассматривается задача на нахождение количества:

2 мн. = Пр. : 1 мн.

К = Ст. : Ц

При обучении учащихся решению задач с величинами «цена», «количество», «стоимость» учитель последовательно ставит следующие цели: познакомить учащихся с данными величинами при решении простых задач; установить по тексту задачи, какие из величин — цена, количество, стоимость — заданы и какую из них нужно найти; раскрыть взаимную пропорциональную зависимость этих величин; определить, каким действием находится одна из них при наличии двух других и др.

Далее вводятся составные задачи.

Существует 3 вида задач с пропорциональными величинами:

1. Задачи на нахождение четвертого пропорционального – один из наиболее распространенных типов составных задач, решаемых в начальной школе. В задачи такого вида входят 3 взаимнозависимых пропорциональных величины, например: 1) цена, количество, стоимость; 2) скорость, время, расстояние (при равномерном движении); 3) количество изготовленных в час деталей, время работы, количество деталей, изготовленных за все время работы; 4) масса одного предмета, количество предметов, общая масса; 5) объем одного сосуда, количество сосудов, объем всех сосудов; 6) длина стороны прямоугольника, ширина стороны прямоугольника, площадь прямоугольника и другие.

Используя любые три величины, связанные пропорциональной зависимостью, можно выделить 6 видов задач на нахождение четвертого пропорционального. Рассмотрим один из видов:

Мальчик купил по одинаковой цене 6 тетрадей в клетку и 3 тетради в линейку. За тетради в клетку он заплатил 18 рублей. Сколько стоили тетради в линейку?

Первые из рассматриваемых задач полезно иллюстрировать рисунками и выполнять запись в таблицах вида:

Цена Количество Стоимость

Кл. ? р. Одинак. 6 т. 18 р.

Лин. ? р. 3 т. ? р.

Учитель предлагает вызванному к доске ученику поставить на первой планке наборного полотна столько тетрадей в клетку купил мальчик и рядом их стоимость — 18 рублей. Выяснив, почему нельзя сразу дать ответ на вопрос задачи (неизвестна цена одного карандаша), на второй планке следует поместить 1 тетрадь (любую) и против нее поставить знак вопроса. На следующей планке ученик разместит 3 тетради в линейку и напротив них также поставит знак вопроса.

- 18 р.

- ? р.

Кл.

18 р.

Лин. ? р.

Рассуждение: чтобы найти стоимость тетрадей в клетку, надо знать цену и количество. Зная, что цена одинаковая, а стоимость тетрадей в клетку 18 рублей, мы узнаем цену 1 тетради: 1) 18 : 6 = 3 (р.)

Зная цену и количество, мы узнаем стоимость тетрадей в линейку:

2) 3 * 3 = (р.)

Решение таких задач в начале следует записывать с пояснениями, а позднее для записи решения можно использовать выражения вида: (18 : 6) * 3 = 3 (р.)

Основная трудность решения задач с пропорциональными величинами состоит в отыскании той логической цепочки, которая ведет от данных к получению ответа на вопрос задачи. Задачи такого рода решаются способом прямого и обратного приведения к единице. Учителя в своей методике имеют немало приемов для успешной организации обучения учащихся умению решать текстовые задачи такого вида. Важно уметь находить различные пути решения задач, обсуждать с учащимися предложенные способы решений, правильно их оценивать.

Рассмотрим задачу: «У одной закройщицы было 15 метров ткани, у другой — 12 метров. Из ткани они покроили платья, расходуя на каждое по 3 метра. Сколько всего платьев они покроили?» Эта задача имеет два способа решения.

1-й способ:

1) 15 + 12 = 27 (м)

2) 27: 3 = 9 (пл.)

3) Ответ: 9 платьев.

2-й способ:

1)15 : 3 = 5 (пл.) — 1 закройщица

2)12 : 3 = 4 (пл.) — 2 закройщица

3) 5 + 4 = 9 (пл.) — 1 и 2 закройщицы вместе.
Ответ: 9 платьев.

Оба способа решения следует с учащимися обсудить и выбрать более рациональный.

2. Задачи на пропорциональное деление

Подготовкой к решению задач на пропорциональное деление следует считать привитие умения решать задачи на нахождение четвертого пропорционального. При решении задач на пропорциональное деление, в содержание которых входит цена, количество, стоимость предметов или единиц их измерения, приходится распределять сумму стоимости пропорционально двум величинам, обозначающим количество предметов в двух разных группах.

Мальчик на 27 рублей по одинаковой цене купил 6 тетрадей в клетку и 3 тетради в линейку. Сколько денег он заплатил за тетради в клетку и в линейку в отдельности?

Цена Количество Стоимость

Кл. ? р. Одинак. 6 т. ? р.

Лин. ? р. 3 т. ?т. ? р. 27 р.

- Можем ли мы узнать стоимость тетрадей в клетку? Почему? (не знаем цену 1 тетради).

- Можем ли мы узнать стоимость тетрадей в линейку? Почему? (не знаем цену 1 тетради).

Вывод: необходимо узнать цену одной тетради. Работа с иллюстрацией:

6 т. 3 т.

27 р.

- Можем ли мы узнать, сколько тетрадей купили на 27 р.?

1) 6 + 3 = 9 (т.)

- Зная стоимость тетрадей, их количество и то, что цена одинаковая, что можем узнать? (цену 1 тетради)

2) 27 : 9 = 3 (р.)

- Зная цену и количество, можем найти стоимость тетрадей в клетку и в линейку в отдельности

3) 3 * 3 = 9 (р.)

4) 3 * 6 = 18 (р.) или 27 – 18 = 9 (р.), 27 – 9 = 18 (р.)

После решения выполняется проверка, а затем составляется обратная задача, включающая в условие общее количество тетрадей в клетку и в линейку и стоимость, которую уплатил мальчик за тетради в отдельности.

Мальчик купил по одинаковой цене 9 тетрадей в клетку и в линейку. За тетради в клетку он заплатил 18 р., а за тетради в линейку – 9р. Какова цена тетради?

Выполняемые при решении задачи арифметические действия записываются последовательно. Аналогичные рассуждения производятся при разборе других задач, записанных в таблицах.

Опыт работы учителей начальных классов показывает, что если при разборе задач на пропорциональное деление рассуждение вести от вопроса к числовым данным, то учащиеся легче усваивают взаимную зависимость данных в задаче величин и видят сходство этих рассуждений с теми, которые проводятся при решении уже знакомых им задач на тройное правило, решаемых способом приведения к единице. При решении каждой задачи всегда подчеркивается, что в условии дана сумма двух значений одной величины, поэтому находим сначала сумму двух соответствующих значений другой величины.

Известно 6 видов задач на пропорциональное деление, рассматриваемых в начальной школе: 4 вида из 6 — задачи с прямой пропорциональной зависимостью величин, два — с обратной пропорциональной зависимостью.

При решении задач на пропорциональное деление рекомендуется: 1) содержание задачи кратко записывать в таблицу; 2) при разборе задачи выяснять: какие величины входят в задачу; какие числовые значения имеет каждая величина; какие из величин имеют одинаковые числовые значения; какие величины нужно знать, чтобы определить цену, количество, стоимость предметов.

При решении задач на пропорциональное деление возможно использовать как арифметические, так и алгебраические способы решения.

3. Задачи на нахождение неизвестной величины по двум разностям

Задачи этого вида значительно сложнее задач на пропорциональное деление, поэтому в качестве подготовительных упражнений к введению таких задач полезно разобрать задания такого вида:

1. Полина и Саша купили конверты по одинаковой цене. Полина купила 8 конвертов, а Саша — 6 конвертов. Кто из девочек больше заплатил за конверты? (Полина.) Почему? ( Она купила на два конверта больше).

2. За сколько конвертов Полина уплатила столько же, сколько и Саша? (За 6 конвертов Полина уплатила столько же, сколько и Саша.).

3. Полина купила на 2 конверта больше, чем Саша, и уплатила на 4 рубля больше, чем Саша. Сколько стоит один конверт?

К последней задаче следует привести предметную или графическую иллюстрацию (приняв 1 конверт за 1 клетку), которая покажет, что Полина купила столько же конвертов, сколько Саша, и еще 2 конверта, поэтому и уплатила она столько же, сколько и Саша, и еще 4 рубля. Следовательно, эти два конверта стоят 4 рубля.

П.

С.

Такие рассуждения легко приводят к нахождению цены одного конверта: 4 : 2 = 2 (р.)

В основе решения задач этого вида лежит метод сопоставления двух разностей, например, разности количества предметов (как в выше рассмотренной задаче) и разности их стоимости.

Методика работы по ознакомлению с задачами на нахождение неизвестной величины по двум разностям аналогична той, которая используется при ознакомлении с задачами на нахождение четвертого пропорционального.

Купили 2 куска материи по одинаковой цене. В 1-ом куске 6 м, а во 2-ом – 4 м. 1 кусок стоит на 40 р. дороже, чем 2-ой. Какова стоимость каждого куска?

Цена Количество Стоимость

I ? р. Одинак. 6 м ? р. на 40 р.