Определенный интеграл.

Определенный интеграл.

Определение. Приращение F (b) - F (а) любой из первообразных функций F (х) + С функции f (х) при изменении аргумента от х = а до х = b называется определённым интегралом от а до b функции f(x) и обозначается: (1)

Числа а и b называются пределами интегрирования, а - нижним, b - верхним. Отрезок [а;b] называется отрезком интегрирования. Функция f(x) называется подынтегральной функцией, а переменная х - переменной интегрирования.

Таким образом, по определению (2)

Данное равенство называется формулой Ньютона - Лейбница.

Геометрический смысл определенного интеграла:если интегрируемая на отрезке [а;b] функция f (х) неотрицательна, то определённый интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f (x), осью абсцисс и прямыми х = аих = b:

Пример 1:Вычислить

Решение:

Пример 2: Вычислить

Решение:

Методы вычисления определенного интеграла.

Непосредственное интегрированиепредполагает использование основных свойств определенного интеграла и формулы Ньютона - Лейбница.

Пример 3. Вычислить

Решение:

Метод подстановкисводит определенный интеграл с помощью подстановки к определенному интегралу относительно новой переменной и. При этом старые пределы интегрирования а и b заменяются соответственно новыми пределами интегрирования а₁ и b₁, которые находятся из исходной подстановки: ,

Пример 4. Решение:

12 Следующая ⇒