Теорема Ньютона - Лейбница. Замечание 2. Для правой части формулы Ньютона-Лейбница часто используют обозначение

Теорема Ньютона - Лейбница

Теорема Ньютона-Лейбница. Если F (x) – любая первообразная функции f (x), то справедливо равенство

(7)

Доказательство. Поскольку S (x) и F (x) – две первообразных функции f (x), то существует такое число c, что выполнено равенство

S (x) = F (x) + c

(8)

Воспользовавшись равенством (8), из формулы (2) получаем, что

(9)

Подставив в формулу (9) значение x = a, получаем равенство

(10)

Заметим, что

(11)

поскольку площадь криволинейной трапеции, «схлопнувшейся» в отрезок, лежащий на прямой t = a, равна 0 .

Из формул (10) и (11) следует, что

c = – F (a) ,

и формула (9) принимает вид

что и завершает доказательство теоремы Ньютона-Лейбница.

Замечание 1. Формулу (7) часто записывают в виде

(12)

и называют формулой Ньютона-Лейбница.

Замечание 2. Для правой части формулы Ньютона-Лейбница часто используют обозначение

Замечание 3. Формулу Ньютона-Лейбница (12) можно записывать, как с переменной интегрирования t , так и с любой другой переменной интегрирования, например, x :

Замечание 4.Все определения и теоремы остаются справедливыми не только в случае положительных непрерывных функций f (x), но и для гораздо более широкого класса функций, имеющих произвольные знаки и интегрируемых по Риману, однако этот материал уже выходит за рамки школьного курса математики.

Список вопросов теста

Вопрос 1

Как называют операцию нахождения первообразной для данной функции?

Вопрос 2

Какая из формул является формулой Ньютона - Лейбница?

Варианты ответов

· 1

· 2

· 3

Вопрос 3

Как называют отрезок [a; b]?

Варианты ответов

· Основание криволинейной трапеции

· Отрезок криволинейной трапеции

· Средняя линия криволинейной трапеции

Вопрос 4

Как называют фигуру, изображённую на рисунке?

⇐ Предыдущая 12