Раздел 15. Основные понятия и методы математической статистики

1. Опр. Пусть  Х – СВ, закон распределения которой содержит неизвестный параметр (это может быть математическое ожидание, дисперсия, другой конкретный параметр). Статистической (точечной) оценкой параметра  по выборке называется произвольное число , задающее приближенное значение неизвестного параметра , вычисленное по какому-либо правилу по данным выборки, т.е. на основе ограниченного числа экспериментов.

Замечание. Оценка сама тоже является случайной величиной, т.к. при повторении серий из ограниченного числа экспериментов в каждой получаются различные значения оценки.

2. Критерии доброкачественности статистических оценок

1) Оценка параметра называется несмещенной, если математическое ожидание оценки равно оцениваемому параметру  при любом объеме выборки, т.е. (оценка не должна иметь систематической ошибки).

2) Оценка параметра называется состоятельной, если при бесконечном увеличении объема выборки она сходится по вероятности к точному значению  т.е.  при любом .

3) Оценка называется эффективной или оптимальной, если она не смещена и имеет минимально возможную дисперсию. В этом случае наблюдается наименьший разброс  относительно точного значения параметра , и оценка, в определенном смысле, является наиболее точной.

3. Опр. Пусть для выборки составлены статистические распределения:  

1) по сортированной выборке ;

2) по группированной выборке .

· Выборочная средняя СВ (количественного признака) Х по выборке (несмещенная точечная оценка математического ожидания СВ:

1) ;  

2) , где .

· Выборочная дисперсия Х (смещенная точечная оценка дисперсии, меньше реальной):

1) ;

2) .

· Исправленная выборочная дисперсия Х  (несмещенная оценка дисперсии) :

1) ;     2) .

· Выборочное среднее квадратическое отклонение Х: .

· Исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение Х:    .