Тема: Первообразная и интеграл

Тема: Первообразная и интеграл

Цель:Дать определение первообразной и на основе её ввести понятие неопределённого интеграла, изучить его свойства, на основе формул и свойств, освоить приёмы итегрирования элементарных функций.

Теоретический материал.

На предыдущих уроках мы находили производные функции f`(х) с помощью таблицы нахождения производных элементарных функций и правил дифференцирования.

Например:

Найти производную функции f(x) = 2x³ – 10x² - 3x + 4.

Решение. f`(x) = (2x³ – 10x² - 3x + 4)`= 6x² – 20x – 3.

Ответ: f`(x) = 6x² – 20x – 3.

Решите задание и запишите решение в рабочую тетрадь:

Найдите производную функции f(x) = 5,3 x⁴ + 4x³ - 7x – 12.

Ответьте устно на вопросы:

- Какие математические операции вам знакомы?

- Назовите взаимно-обратные математические операции.

- Если функция имеет третью степень, то какую степень имеет производная?

- Если производная функции имеет третью степень, то какую степень имеет функция?

Возникла необходимость изучения математической операции обратной дифферецированию функции.

Определите от какой функции нашли производную: 2х; 3х²; 4х³. Функцию которую можно определить по ее производной называют первообразной.

Запишите определение первообразной функции в тетрадь.

Определение.Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке X, если для x є X выполняется равенство F '(x) = f(x).

Примеры:

1) Функция y = x²является первообразной для функции y = 2x, поскольку для любого x справедливо равенство (x²)' = 2x.

2) Функция y = sin x является первообразной для функции y = cos x, поскольку для любого x справедливо равенство (sin x)' = cos x.

Только ли функция х² является первообразной для 2х? Нет. Потому что (х²+3)`=2x, (х²- 5)`=2x и т.д.

Значит, каждая из функций х²+3, х²– 5 является первообразной для 2х.

Вообще, если F`(x) = f(x), а С – произвольное число, то каждая первообразная для f(x) имеет вид F(x) + С.

Используя таблицу производных составим таблицу первообразных. Запишите её в тетрадь и запомните её.

Таблица формул для нахождения первообразных:

При нахождении первообразных используются не только формулы, но и некоторые правила.

Запишите в тетрадь правила и примеры нахождения первообразных.

Правило 1. Первообразная суммы равна сумме первообразных.

Если функции у - f(x) и у - g(х) имеют на промежутке X первообразные соответственно у - F(x) и у = G(x), то и сумма функций у = f(x) + g(x) имеет на промежутке X первообразную, причем одной из этих первообразных является функция у = F(x) + G(х).

Пример. Найдите первообразную для функции у = 3х² +cos x.

Решение.Первообразной для 3х² служит х³; первообразной для cos х служит sin х. Значит, первообразной для функции у = 3х² + cos х будет служить функция у = х³ + sin х + С.

Правило 2. Если F(x) – первообразная для f(x), то kF(x) – первообразная для kf(x).

Пример. Найдите первообразные для функции у = 5 sin x.

Решение.Первообразной для sin х служит -cos х; значит, для функции у = 5 sin х первообразной будет функция у = -5 cos х + С.

Правило 3.Если у = F(x) — первообразная для функции у = f(x), то первообразной для функции у = f(kx + m) служит функция у = (1/k) F(kx + m).

Пример. Найдите первообразные для функции у = sin 7x.

Решение.Первообразной для sin х служит -cos х; значит, для функции у = sin 7х первообразной будет функция у = -(1/7) cos 7х + С.

Выполним вместе. Запишите решение заданий в тетрадь.

1. Найдите первообразную для функции f(x) = 3х² + 2х - 4.

Решение. F(x) = х³ + х² - 4х + С.

2. Докажите, что функция F(x) = 2sinx + 3х является первообразной для функции f(x) = 2cosx + 3.

Доказательство. F`(x)=(2sinx + 3x)`= 2cosx +3 = f(x). Имеем: F`(x) =f(x). Следовательно, по определению, функция F(x) первообразная для функции f(x).

3. Найдите для функции у = 2х такую первообразную, чтобы её график проходил через точку А(3; 7).

Решение. Одной из первообразных для у = 2х является функция F(x) = х². Общий вид всех её первообразных – функция F(x) = х²+С.

Так как график искомой первообразной должен проходить через точку А(3; 7), то 7 = 3² + С, С = 7 – 9 = -2.

Искомая первообразная F(x) = х² – 2

Ответ. F(x) = х² – 2

4. Тело движется прямолинейно с ускорением а(t) = 2 м/с². Определите скорость движения тела как функцию от времени t, если в момент t = 0 она равнялась 3 м/с.

Решение. Ускорение – производная скорости. Поэтому если v(t) – искомая скорость, то v`(t) = 2. Следовательно, v(t)- первообразная для функции 2 (постоянной), поэтому v(t) = 2t + С. Поскольку v(0) = 3, то 3 = 2∙0 + С, С = 3. Значит, v(t) = 2t + 3.

Ответ. v(t) = 2t + 3.

12 Следующая ⇒